ЗАДАЧА 1 По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.): № предприятия X Y
1 12 21
2 4 10
3 18 26
4 27 33
5 26 34
6 29 37
7 1 9
8 13 21
9 26 32
10 5 14
Требуется: Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости (=0,05). Вычислить коэффициент детерминации R2; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости (=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости (=0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза. Составить уравнения нелинейной регрессии: логарифмической; степенной; показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. РЕШЕНИЕ Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL. 1. С помощью надстройки «Анализ данных» EXCEL проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии (меню «Сервис» ( «Анализ данных…» ( «Регрессия»):
(Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen.) В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид: (прил. 1). Угловой коэффициент b1=0,968 является по своей сути средним абсолютным приростом. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,968 млн. руб. 2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии (i=1, 2, …, n, где n=10 — число наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и рассчитана остаточная сумма квадратов
(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1). Стандартная ошибка линейной парной регрессии Sрег определена там же: млн. руб. (см. «Регрессионную статистику» в прил. 1), где p=1 — число факторов в регрессионной модели. График остатков ei от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i=1, 2, …, n) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в «Выводе остатка» прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» ( «Диаграмма…» ( «Точечная»:
График остатков приведен в прил. 2. 3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов. 1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности. Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y (выбросов). С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. «Вывод остатка» в прил. 1) с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости (=0,05 и числа степеней свободы остатка регрессии , которое составляет tтаб=2,306. Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов. 2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b0, параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю: (см. прил. 1). Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции EXCEL «СУММ» и «СРЗНАЧ». 3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i=1, 2, …, n). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из встроенных функций: =КОРРЕЛ(ABS(«Остатки»);«Предсказанное Y») Коэффициент корреляции оказался равным (см. прил. 1). Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости (=0,05 и числа степеней свободы составляет rкр=0,632. Так как коэффициент корреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости (=0,05. 4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка» прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на панели инструментов нажимается кнопка «» («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d статистику Дарбина–Уотсона (см. прил. 1). Для расчета d статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL: =СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n») Критические значения d статистики для числа наблюдений n=10, числа факторов p=1 и уровня значимости (=0,05 составляют: d1=0,88; d2=1,32. Так как выполняется условие , статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости (=0,05. Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка (см. прил. 1). (ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности). Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций: =СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n») Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости (=0,05 составляет r(1)кр=0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках. 5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле , где emax=1,27; emin=(–1,99) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»); — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН») (см. прил. 1). Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня значимости (=0,05 имеют значения: (R/S)1=2,67 и (R/S)2=3,69. Так как расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости (=0,05. Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению. 4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b0 и b1 уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости (=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии составляет tтаб=2,306. t-статистики коэффициентов , были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL и имеют следующие значения: tb0(11,41; tb1(25,81 (см. прил. 1). Анализ этих значений показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности случайного формирования коэффициентов b0 и b1, которые ниже допустимого уровня значимости (=0,05 (см. «P Значение»). Статистическая значимость углового коэффициента b1 дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y. 5. Коэффициент дет
