Федеральное агентство по образованию
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант № 6
Архангельск
2008
Условие задачи.
По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.3 ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.
7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
Гиперболической;
Степенной;
Показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение задачи.
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии EMBED Equation.3 решим систему нормальных уравнений:
EMBED Equation.3
n=10
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найдём параметры уравнения линейной регрессии, используя надстройку «Мастер диаграмм» в Excel, тип диаграммы – точечная, выделяем столбцы (А1:В11), выбираем команду «Добавить линию тренда», выбираем 2 последние команды:
- показывать уравнение на диаграмме;
- поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.
Общий вид уравнения регрессии имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 коэффициент регрессии.
Величина коэффициента регрессии ( EMBED Equation.3 ) показывает, на сколько в среднем изменяется значение результата с изменением фактора на 1 единицу. Т.о в нашем случае, с увеличением объема капиталовложений (Х) на 1 млн.руб. объём выпуска продукции (У) возрастает в среднем на 0.909 млн.руб., т.е. дополнительный прирост выпуска продукции на 1 млн.руб. потребует увеличения капиталовложений в среднем на 0.909 млн. руб.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.3 . Построить график остатков.
Вычислим остатки по формуле: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Оценка дисперсии остатков:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
По следующим данным строим график остатков:
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
1. Случайный характер остатков (критерий поворотных точек, критерий пиков):
EMBED Equation.3 ,
где n- количество наблюдений;
m – количество поворотных точек (пиков).
Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 не является поворотной точкой
EMBED Equation.3 является поворотной точкой
EMBED Equation.3 является поворотной точкой
EMBED Equation.3 не является поворотной точкой
EMBED Equation.3 не является поворотной точкой
EMBED Equation.3 является поворотной точкой
EMBED Equation.3 является поворотной точкой
EMBED Equation.3 является поворотной точкой.
m=5
EMBED Equation.3
m=5>2, следовательно неравенство выполняется, свойство выполняется.
2. Независимость значений остатков (отсутствие автокорреляции). Критерий Дарбина-Уотсона.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 сравниваем с двумя табличными: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , следовательно, свойство выполняется, остатки независимы.
3. Подчинение остатков нормальному закону (R/S критерий).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Расчётный критерий сравниваем с двумя табличными, если расчётный критерий попадает внутрь табличного интервала, то свойство выполняется.
EMBED Equation.3 (2,67;3,57)
2,67 < 3,149 < 3,57, следовательно, свойство выполняется, остатки подчинены нормальному закону.
4. Проверка равенства М(Е)=0, средняя величина остатков равна 0 (критерий Стьюдента).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Если EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 , то свойство выполняется.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 2,2281
EMBED Equation.3 , следовательно, свойство выполняется.
5. Гомоскедастичность остатков, то есть дисперсия остатков ( EMBED Equation.3 ) одинаково для каждого значения EMBED Equation.3 (остатки имеют постоянную дисперсию).
Если дисперсия остатков неодинакова, то имеет место гетероскедастичность.
Если предпосылки не выполняются, то модель нужно уточнять. Применяем тест Голдфельд-Квандта:
упорядочить (ранжировать) наблюдения по мере возрастания фактора «Х».
2) исключить d-средних наблюдений.
EMBED Equation.3 , где n – количество наблюдений.
разделить совокупность на две группы: с малыми и большими значениями «Х» и для каждой из частей найти уравнение регрессии.
найти остаточную сумму квадратов отклонений ( EMBED Equation.3 ) для каждого уравнения регрессии.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
применяют критерий Фишера:
EMBED Equation.3
Если EMBED Equation.3 , то гетероскедастичность имеет место, то есть пятая предпосылка не выполняется.
EMBED Equation.3
Упорядочим наблюдениям по мере возрастания переменной Х:
X5=20; Y5=32 и Х6=23; Y6=32 исключаем.
EMBED Equation.3 ; n=10
EMBED Equation.3
n=4
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
n=4
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , так как EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , значит, пятая предпосылка выполняется, следовательно, модель нужно адекватна.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , следовательно, параметр EMBED Equation.3 значим.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , следовательно, коэффициент регрессии EMBED Equation.3 значим.
Интервальная оценка:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
а0: 12,241 EMBED Equation.3 2,31*0,876
а0: 12,241 EMBED Equation.3 2,02
Нижняя граница: 12,241-2,02=10,221
Верхняя граница: 12,241+2,02=14,261
а0: (10,221 EMBED Equation.3 14,261), следовательно, параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
а1: 0,909 EMBED Equation.3 2,31*0,0426
а1: 0,909 EMBED Equation.3 0,098
Нижняя граница: 0,909-0,098=0,811
Верхняя граница: 0,909+0,098=1,007
а1: (0,811 EMBED Equation.3 1,007), следовательно, коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Для нахождения коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Проверяем значимость EMBED Equation.3 по критерию Стьюдента:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , следовательно, EMBED Equation.3 значим.
EMBED Equation.3 =0,991, то есть связь между переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше 0).
Находим коэффициент детерминации:
EMBED Equation.3 , то есть 98,2% - изменение объёма выпуска продукции (зависимой переменной «y») происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора «х», включённого в модель).
Значимость уравнения регрессии по критерию Фишера:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , следовательно, уравнение регрессии значимо, модель адекватна.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Так как EMBED Equation.3 , значит модель достаточно точная.
F-критерий намного больше табличного значения, коэффициент детерминации EMBED Equation.3 очень близок к 1, а относительная ошибка аппроксимации составляет 3,19%. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - прогноз факторного признака (объема капиталовложений).
EMBED Equation.3 - точечный прогноз.
(31,2; 40,6) – точка должна лежать на графике модели.
Интервальный прогноз:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
40,6 EMBED Equation.3 1,86 EMBED Equation.3 1,33
40,6 EMBED Equation.3 2,47
Верхняя граница: 40,6-2,47=38,13
Нижняя граница: 40,6+2,47=43,07
То есть при уровне значимости EMBED Equation.3 =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 31,2, точечный прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 40,6. Доверительный интервал: 38,13 EMBED Equation.3 40,07.
7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
Гиперболической;
Степенной;
Показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Уравнение степенной модели парной регрессии:
EMBED Equation.3
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:
EMBED Equation.3
Обозначим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид EMBED Equation.3 - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры (см. приложение).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Получим уравнение степенной модели регрессии:
EMBED Equation.3
Построим график:
Определим коэффициент корреляции:
EMBED Equation.3
Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.
Коэффициент детерминации:
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 98,2% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
В среднем расчётные значения EMBED Equation.3 для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,4%.
Коэффициент эластичности для степенной модели регрессии:
EMBED Equation.3 , значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,62%.
Уравнение показательной модели парной регрессии:
EMBED Equation.3
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
EMBED Equation.3
Обозначим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид EMBED Equation.3 - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Перейдём к исходным переменным x и y.
EMBED Equation.3
Построим график:
EMBED Excel.Chart.8 \s
Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3
Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.
Коэффициент детерминации:
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 96,8% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3
В среднем расчётные значения EMBED Equation.3 для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,8%.
Коэффициент эластичности для показательной модели регрессии:
EMBED Equation.3 , значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,63%.
Уравнение гиперболической модели парной регрессии:
EMBED Equation.3
Произведём линеаризацию модели путём замены EMBED Equation.3 .
В результате получим линейное уравнение:
EMBED Equation.3
Рассчитаем его параметры.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Получим следующее уравнение гиперболической модели:
EMBED Equation.3
Построим график:
EMBED Excel.Chart.8 \s
Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3
Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.
Коэффициент детерминации:
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 89,5% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3
В среднем расчётные значения EMBED Equation.3 для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,23%.
Коэффициент эластичности для гиперболической модели регрессии:
EMBED Equation.3 %, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,53%.
Сравним модели по коэффициенту детерминации, коэффициенту эластичности и средней относительной ошибке аппроксимации:
Самое хорошее качество имеет степенная модель. Коэффициент детерминации наиболее близок к 1 (вариация объёма капиталовложений на 98,2% объясняет вариацию объёма выпуска продукции), наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации S=3,4% и среднее значение коэффициента эластичности EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
