ВАРИАНТ 1
Задача 1.
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( EMBED Equation.3 , млн. руб.) от объема капиталовложений ( EMBED Equation.3 , млн. руб.)
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.DSMT4 ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента EMBED Equation.3
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью EMBED Equation.3 - критерия Фишера EMBED Equation.3 , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя EMBED Equation.3 при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения EMBED Equation.3 точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: EMBED Equation.DSMT4
Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Уравнение линейной регрессии имеет вид: EMBED Equation.DSMT4 =-15,78+2,19*x.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 2,19 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.
Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков EMBED Equation.DSMT4 ; построим график остатков.
Остатки см табл 1.1 столбец EMBED Equation.DSMT4
Остаточная сумма квадратов EMBED Equation.DSMT4 =59,51
Дисперсия остатков EMBED Equation.DSMT4 59.51/8=7.44
График остатков
EMBED Excel.Chart.8 \s
Проверим выполнение предпосылок МНК.
Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.
случайный характер остатков
нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от xi
гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений x
отсутствие автокорреляции остатков
остатки подчиняются нормальному распределению
случайный характер остатков
с этой целью строится график зависимости остатков ei от теоретических значений результативного признака
EMBED Excel.Chart.8 \s
На графике получена горизонтальная полоса, значит остатки ei представляют собой случайные величины и МНК оправдан
нулевая средняя величина остатков, не зависящая от xi
с этой целью строится график зависимости остатков ei от факторов, включенных в регрессию xi.
SHAPE \* MERGEFORMAT EMBED Excel.Chart.8 \s

Остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит они не зависимы от xi.
Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H0: EMBED Equation.DSMT4 . С этой целью строится t-статистика EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 гипотеза принимается.
гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений x
Коэфф. Спирмена EMBED Equation.DSMT4 где EMBED Equation.DSMT4
t-статистика EMBED Equation.DSMT4 это меньше t Крит, следовательно гипотеза об отсутствии гетероскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается
Гомоскедастичность присутствует
Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона.
EMBED Equation.3
dw=165,20/59,51=2,77 dw’=4-2.77=1.23
Верхние (d2=1.32) и нижние (d1=0.88) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.
Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна.
Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).
Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.
В нашем случае d1 < dw <d2 – критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. Проверим независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|<rтаб, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб = 0,36. Имеем: |r(1)| =0.56> rтаб = 0,36 - значит уровни зависимы.
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2.67-3.685;
Рассчитаем значение RS: RS = (Emax - Emin)/ S,
где Emin - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);
Emax - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)
S - среднее квадратическое отклонение.

Так как 2,67<3,28<3.685, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом предпосылки МНК не выполняются.
Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента EMBED Equation.3
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Затем расчетные значения EMBED Equation.DSMT4 сравниваются с табличными tтабл=2,3060. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости ? (0,05)
Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.
В нашем случае коэффициенты регрессии значимы.
Вычислим коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью EMBED Equation.3 - критерия Фишера EMBED Equation.3 , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле
EMBED Equation.DSMT4 =0,994
Рассчитаем коэффициент детерминации:
EMBED Equation.DSMT4 0.9942 =0,989
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 98,9 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
EMBED Equation.DSMT4 713,173
F>Fтабл.=5.32 для ?=0,05; k1=m=1; k2=n-m-1=8
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F > Fтабл.
Определим среднюю относительную ошибку:
EMBED Equation.DSMT4 1,57%
В среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических значений на 1,57%
Осуществим прогнозирование среднего значения показателя EMBED Equation.3 при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора составит 80% от его максимального значения EMBED Equation.DSMT4 0,8*84=67,20 составит
EMBED Equation.DSMT4 =-15,78+2,19*67,20=131,64
Интервальный прогноз:
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 для EMBED Equation.DSMT4 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,8595.
Тогда
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Представим графически: фактические и модельные значения EMBED Equation.3 точки прогноза.
EMBED Excel.Chart.8 \s