ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Контрольная работа По дисциплине Финансовая математика Вариант 2 Задание 1 В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Требуется: Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации; Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: случайности остаточной компоненты по критерию пиков; независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные. Решение Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3. Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Таблица 1 t Y(t) t-tср (t-tср)2 Y-Yср (Y-Yср)х(t-tср)
1 30 -3,5 12,25 -7,4 25,8
2 38 -2,5 6,25 0,6 -1,6
3 45 -1,5 2,25 7,6 -11,4
4 30 -0,5 0,25 -7,4 3,7
5 32 0,5 0,25 -5,4 -2,7
6 42 1,5 2,25 4,6 6,9
7 51 2,5 6,25 13,6 34,1
8 31 3,5 12,25 -6,4 -22,3
36 299 0 42,0 0,0 32,50
Получим линейное уравнение вида Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу. Таблица 2 Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели t Y(t) Yp(t)
1 30 34,67
2 38 35,44
3 45 36,21
4 30 36,99
5 32 37,76
6 42 38,54
7 51 39,31
8 31 40,08
Оценки коэффициентов сезонности для I – IV кварталов:
Таблица 3 Модель Хольта-Уинтерса t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) Абс. погр., E(t) Отн. погр., в %
0
33,89 0,77 0,8564 -
-
1 30 34,78 0,81 0,8602 29,69 0,31 1,04
2 38 35,45 0,77 1,0755 38,47 -0,47 1,23
3 45 35,98 0,70 1,2583 46,00 -1,00 2,22
4 30 37,04 0,80 0,8029 29,06 0,94 3,13
5 32 37,65 0,75 0,8540 32,55 -0,55 1,72
6 42 38,59 0,81 1,0832 41,30 0,70 1,68
7 51 39,74 0,91 1,2734 49,57 1,43 2,80
8 31 40,03 0,72 0,7858 32,63 -1,63 5,27
9 36 41,18 0,85 0,8662 34,81 1,19 3,31
10 46 42,16 0,89 1,0880 45,52 0,48 1,04
11 55 43,09 0,90 1,2752 54,82 0,18 0,33
12 34 43,78 0,84 0,7803 34,57 -0,57 1,67
13 41 45,43 1,08 0,8880 38,64 2,36 5,75
14 50 46,35 1,03 1,0825 50,60 -0,60 1,20
15 60 47,28 1,00 1,2715 60,42 -0,42 0,69
16 37 48,02 0,92 0,7744 37,68 -0,68 1,83
34,90
Проверка точности модели. Таблица 4 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели t E(t) Точка поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)]2 E(t)xE(t-1)
1 0,31 ххх 0,097 - -
2 -0,47 0 0,22 0,61 -0,15
3 -1,00 1 1,00 0,28 0,47
4 0,94 1 0,88 3,76 -0,94
5 -0,55 1 0,30 2,22 -0,52
6 0,70 0 0,50 1,57 -0,39
7 1,43 1 2,03 0,52 1,00
8 -1,63 1 2,67 9,35 -2,33
9 1,19 1 1,42 7,97 -1,94
10 0,48 0 0,23 0,51 0,57
11 0,18 0 0,03 0,09 0,09
12 -0,57 1 0,32 0,56 -0,10
13 2,36 1 5,55 8,55 -1,34
14 -0,60 1 0,36 8,76 -1,42
15 -0,42 1 0,17 0,04 0,25
16 -0,68 ххх 0,46 0,07 0,28
Сумма 1,68 10,00 16,24 44,87 -6,47
Суммарное значение относительных погрешностей составляет 34,9 Средняя величина: 34,9 / 16=2,18%, значит, условие точности выполнено, т.к. средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%. Проверка условия адекватности на основе исследования: а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков: Условие случайности уровней ряда остатков выполнено, т.к. количество поворотных точек р = 10 > q = 6. б) независимости уровней ряда остатков: по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
Так как 1,10<1,24<1,37, следовательно, уровни ряда Е(t) автокоррелированы, т. е. являются зависимыми. по первому коэффициенту автокорреляции r(1):
Уровни зависимы, т.к. критический уровень rтабл. = 0,32, а > rтабл. = 0,32. в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию: Emax – Emin = 2,36 – (-1,63) = 3,99
Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,83) попадает в заданный интервал (3,00<3,83<4,21). Произведем точечный прогноз на 4 шага вперед: Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.
Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (рис. 1).
Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных Задание 2 Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням. Дни Цены
макс. мин. закр.
1 765 685 750
2 792 703 733
3 740 706 733
4 718 641 666
5 680 600 640
6 693 638 676
7 655 500 654
8 695 630 655
9 700 640 693
10 755 686 750
Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D; Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных. Решение Экспоненциальную скользящую среднюю рассчитаем по формуле: , где k = 2 / (n + 1). Момент:
Скорость изменения цен:
Таблица 1 Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен Дни Цены закр ЕМАt МОМt ROCt
1 750 750,0 - -
2 733 744,3 - -
3 733 740,6 - -
4 666 715,7 - -
5 640 690,5 - -
6 676 685,6 -74,0 90,1
7 654 675,1 -79,0 89,2
8 655 668,4 -78,0 89,4
9 693 676,6 27,0 104,1
10 750 701,1 110,0 117,2
Индекс относительной силы рассчитаем по формуле:
Таблица 2 Результаты расчета индекса относительной силы Дни Цены закрытия Изменение (+/-) RSI
1 750 - -
2 733 -17 -
3 733 0 -
4 666 -67 -
5 640 -26 -
6 676 36 24,7
7 654 -22 23,8
8 655 1 24,3
9 693 38 61,0
10 750 57 85,7
%R рассчитаем по формуле:
%К рассчитаем по формуле:
%D рассчитаем по формуле:
Таблица 3 Результаты расчетов %R, %К, %D Дни Цены % Kt % Rt %Dt
макс мин закр
1 765 685 750
- -
2 792 703 733 - - -
3 740 706 733 - - -
4 718 641 666 - - -
5 680 600 640 20,8 79,2 -
6 693 638 676 39,6 60,4 -
7 655 500 654 64,2 35,8 43,3
8 695 630 655 71,1 28,9 59,2
9 700 640 693 96,5 3,5 76,3
10 755 686 750 98,0 2,0 88,9
Задание 3 3.1. Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 18.01.02, возврата 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15% годовых. Найти: 3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды; 3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; 3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Решение 3.1.1) К = 365, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 365 = 2 1780,82 руб. 3.1.2) К = 360, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 360 = 2 2083,33 руб. 3.1.3) К = 360, t = 54, I = 1 000 000 х 0,15 х 54 / 360 = 2 2500,00 руб. 3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил 1 000 000 руб. Кредит выдан под 15% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт? Решение P = S / (1 + ni) = 1 000 000 / (1 + 0,15 х 180 / 360) = 930 232,56 руб. D = S – P = 1 000 000 – 930 232,56 = 69 767,44 руб. 3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт. Решение D = Snd = 1 000 000 x 0,15 х 180 / 360 = 75 000,00 руб. P = S – D = 1 000 000 – 75 000,00= 925 000,00 руб. 3.4. В кредитном договоре на сумму 1 000 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 15% годовых. Определить наращенную сумму. Решение S = P x (1+i)n = 1 000 000 х (1+0,15)4 = 1 749 006,25 руб. 3.5. Сумма размером 1 000 000 руб. представлена на 4 года. Проценты сложные, ставка 15% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму. Решение N = 4 x 2 = 8 S = P x (1+j / m)N = 1 000 000 х (1 + 0,15 / 2)8 = 1 783 477,83 руб. 3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 15% годовых. Решение iэ = (1 + j / m)m
