ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
По дисциплине
Финансовая математика
Вариант 2
Задание 1
В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Y(t)
30
38
45
30
32
42
51
31
36
46
55
34
41
50
60
37


Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3.
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t).
Таблица 1
t
Y(t)
t-tср
(t-tср)2
Y-Yср
(Y-Yср)х(t-tср)

1
30
-3,5
12,25
-7,4
25,8

2
38
-2,5
6,25
0,6
-1,6

3
45
-1,5
2,25
7,6
-11,4

4
30
-0,5
0,25
-7,4
3,7

5
32
0,5
0,25
-5,4
-2,7

6
42
1,5
2,25
4,6
6,9

7
51
2,5
6,25
13,6
34,1

8
31
3,5
12,25
-6,4
-22,3

36
299
0
42,0
0,0
32,50





Получим линейное уравнение вида
Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.
Таблица 2
Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели
t
Y(t)
Yp(t)

1
30
34,67

2
38
35,44

3
45
36,21

4
30
36,99

5
32
37,76

6
42
38,54

7
51
39,31

8
31
40,08


Оценки коэффициентов сезонности для I – IV кварталов:




Таблица 3
Модель Хольта-Уинтерса
t
Y(t)
a(t)
b(t)
F(t)
Yp(t)
Абс. погр.,
E(t)
Отн. погр.,
в %

0

33,89
0,77
0,8564
-

-

1
30
34,78
0,81
0,8602
29,69
0,31
1,04

2
38
35,45
0,77
1,0755
38,47
-0,47
1,23

3
45
35,98
0,70
1,2583
46,00
-1,00
2,22

4
30
37,04
0,80
0,8029
29,06
0,94
3,13

5
32
37,65
0,75
0,8540
32,55
-0,55
1,72

6
42
38,59
0,81
1,0832
41,30
0,70
1,68

7
51
39,74
0,91
1,2734
49,57
1,43
2,80

8
31
40,03
0,72
0,7858
32,63
-1,63
5,27

9
36
41,18
0,85
0,8662
34,81
1,19
3,31

10
46
42,16
0,89
1,0880
45,52
0,48
1,04

11
55
43,09
0,90
1,2752
54,82
0,18
0,33

12
34
43,78
0,84
0,7803
34,57
-0,57
1,67

13
41
45,43
1,08
0,8880
38,64
2,36
5,75

14
50
46,35
1,03
1,0825
50,60
-0,60
1,20

15
60
47,28
1,00
1,2715
60,42
-0,42
0,69

16
37
48,02
0,92
0,7744
37,68
-0,68
1,83








34,90


Проверка точности модели.
Таблица 4
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
t
E(t)
Точка поворота
E(t)2
[E(t)-E(t-1)]2
E(t)xE(t-1)

1
0,31
ххх
0,097
-
-

2
-0,47
0
0,22
0,61
-0,15

3
-1,00
1
1,00
0,28
0,47

4
0,94
1
0,88
3,76
-0,94

5
-0,55
1
0,30
2,22
-0,52

6
0,70
0
0,50
1,57
-0,39

7
1,43
1
2,03
0,52
1,00

8
-1,63
1
2,67
9,35
-2,33

9
1,19
1
1,42
7,97
-1,94

10
0,48
0
0,23
0,51
0,57

11
0,18
0
0,03
0,09
0,09

12
-0,57
1
0,32
0,56
-0,10

13
2,36
1
5,55
8,55
-1,34

14
-0,60
1
0,36
8,76
-1,42

15
-0,42
1
0,17
0,04
0,25

16
-0,68
ххх
0,46
0,07
0,28

Сумма
1,68
10,00
16,24
44,87
-6,47

Суммарное значение относительных погрешностей составляет 34,9 Средняя величина: 34,9 / 16=2,18%, значит, условие точности выполнено, т.к. средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%.
Проверка условия адекватности на основе исследования:
а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:
Условие случайности уровней ряда остатков выполнено, т.к. количество поворотных точек р = 10 > q = 6.
б) независимости уровней ряда остатков:
по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):


Так как 1,10<1,24<1,37, следовательно, уровни ряда Е(t) автокоррелированы, т. е. являются зависимыми.
по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

Уровни зависимы, т.к. критический уровень rтабл. = 0,32, а > rтабл. = 0,32.
в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:
Emax – Emin = 2,36 – (-1,63) = 3,99


Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,83) попадает в заданный интервал (3,00<3,83<4,21).
Произведем точечный прогноз на 4 шага вперед: Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.




Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (рис. 1).

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных
Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.
Дни
Цены


макс.
мин.
закр.

1
765
685
750

2
792
703
733

3
740
706
733

4
718
641
666

5
680
600
640

6
693
638
676

7
655
500
654

8
695
630
655

9
700
640
693

10
755
686
750

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение
Экспоненциальную скользящую среднюю рассчитаем по формуле:
, где k = 2 / (n + 1).
Момент:

Скорость изменения цен:

Таблица 1
Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней,
момента, скорости изменения цен
Дни
Цены закр
ЕМАt
МОМt
ROCt

1
750
750,0
-
-

2
733
744,3
-
-

3
733
740,6
-
-

4
666
715,7
-
-

5
640
690,5
-
-

6
676
685,6
-74,0
90,1

7
654
675,1
-79,0
89,2

8
655
668,4
-78,0
89,4

9
693
676,6
27,0
104,1

10
750
701,1
110,0
117,2


Индекс относительной силы рассчитаем по формуле:

Таблица 2
Результаты расчета индекса относительной силы
Дни
Цены закрытия
Изменение (+/-)
RSI

1
750
-
-

2
733
-17
-

3
733
0
-

4
666
-67
-

5
640
-26
-

6
676
36
24,7

7
654
-22
23,8

8
655
1
24,3

9
693
38
61,0

10
750
57
85,7


%R рассчитаем по формуле:

%К рассчитаем по формуле:

%D рассчитаем по формуле:

Таблица 3
Результаты расчетов %R, %К, %D
Дни
Цены
% Kt
% Rt
%Dt


макс
мин
закр




1
765
685
750

-
-

2
792
703
733
-
-
-

3
740
706
733
-
-
-

4
718
641
666
-
-
-

5
680
600
640
20,8
79,2
-

6
693
638
676
39,6
60,4
-

7
655
500
654
64,2
35,8
43,3

8
695
630
655
71,1
28,9
59,2

9
700
640
693
96,5
3,5
76,3

10
755
686
750
98,0
2,0
88,9


Задание 3
3.1. Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 18.01.02, возврата 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15% годовых.
Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение
3.1.1) К = 365, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 365 = 2 1780,82 руб.
3.1.2) К = 360, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 360 = 2 2083,33 руб.
3.1.3) К = 360, t = 54, I = 1 000 000 х 0,15 х 54 / 360 = 2 2500,00 руб.
3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил 1 000 000 руб. Кредит выдан под 15% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение
P = S / (1 + ni) = 1 000 000 / (1 + 0,15 х 180 / 360) = 930 232,56 руб.
D = S – P = 1 000 000 – 930 232,56 = 69 767,44 руб.
3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение
D = Snd = 1 000 000 x 0,15 х 180 / 360 = 75 000,00 руб.
P = S – D = 1 000 000 – 75 000,00= 925 000,00 руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму 1 000 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 15% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение
S = P x (1+i)n = 1 000 000 х (1+0,15)4 = 1 749 006,25 руб.
3.5. Сумма размером 1 000 000 руб. представлена на 4 года. Проценты сложные, ставка 15% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение
N = 4 x 2 = 8
S = P x (1+j / m)N = 1 000 000 х (1 + 0,15 / 2)8 = 1 783 477,83 руб.
3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 15% годовых.
Решение
iэ = (1 + j / m)m