Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине « экономико-математические методы и прикладные модели»
Вариант №2
Выполнила:
Факультет: финансово-кредитный
Специальность: финансы и кредит.
Группа: 0604(договор, вечер) III курс
Зачетная книжка:
Преподаватель: Князева И.В.
Задача 1 TC "Задача 1" \f C \l "1"
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение:
сформулируем целевую функцию: EMBED Equation.3
сформулируем функциональные ограничения для целевой функции:
EMBED Equation.3 ?6
EMBED Equation.3 ?12
х1,2?0
найдем значения х1 и х2 методом Гаусса:
EMBED Equation.3 ?6; EMBED Equation.3 ?6;
EMBED Equation.3 ?12. 3х2?6; х2=2; х1=2 ;
Вычислим значение целевой функции в точке пересечения (2;2):
EMBED Equation.3
график изобразим на рисунке 1:
Рис. 1. График решения задачи.
Ответ: 1. EMBED Equation.3 и достигается при х1=2; х2=2.
2. Если задачу решать на максимум, то целевая функция EMBED Equation.3 неограниченная и ЗЛП не имеет решения, EMBED Equation.3 .
Задача 2 TC "Задача 2" \f C \l "1"
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы, каждого вида продукции приведены в таблице.
Решение:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по двеединицы каждого вида сырья.
Сформулируем целевую функцию: EMBED Equation.3
сформулируем функциональные ограничения для целевой функции:
EMBED Equation.3 ?180
EMBED Equation.3 ?210
EMBED Equation.3 ?800
х1,2,3,4?0
С помощью надстройки Excel « Поиск решения» (рис.2.) найдем оптимальный план задачи (значения EMBED Equation.3 , и значение функции EMBED Equation.3 ).
Рис. 2. Решение с помощью надстройки Excel « Поиск решения».
Подставим найденный оптимальный план в систему функциональных ограничений: столбец «F» (рис 2), поскольку второе и третье ограничения содержат знаки равно между правой и левой частью переменные целевой y1 и y2 не будут равны нулю, и поскольку первое ограничение содержит знак неравенства, по второй теореме двойственности y1=0.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Min?(x)= EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ?9
EMBED Equation.3 ?6
EMBED Equation.3 ?4
EMBED Equation.3 ?7
EMBED Equation.3 ?0
По второй части второй теоремы двойственности, поскольку y1 и y2 >0 второе и третье ограничения содержат знаки равно между правой и левой частью, т.е. правомерно решить систему уравнений:
EMBED Equation.3 =9,
EMBED Equation.3 =6; y1=0; y2=1,5; y3=2,25.
y1 = 0 – это самый не дефицитный ресурс, а y3 = 2,25 – самый дефицитный.
Для анализа воспользуемся свойствами двойственных оценок:
Если увеличить запасы второго сырья на 120 единиц, третьего сырья на 160 единиц, и уменьшении первого сырья на 60 единиц, то выручка увеличится на 700 единиц, а план выпуска продукции изменится.
Из таблицы видно, что при увеличении запасов сырья (1-го на -60, 2-го на 120, 3-го на 160) целевая функция увеличилась на 540 ед.
max f(x) = 120y1+310y2+960y3=2655
Отчет по устойчивости
Из отчета видно, что запасы дефицитных ресурсов, 2-го и 3-го видов сырья могут быть, как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса
1-го ресурса на план выпуска продукции не влияет. Новый план выпуска составляет 75 изделий первого вида и 330 изделий второго вида. Изменение общей стоимости продукции на 540 ед.(2655-2115=540)получено за счет уменьшения плана выпуска на 20ед. продукции первого вида по цене 9 ед. (9*(75-95)=-180 ед.) и увеличении на 120 ед. продукции второго вида по цене 6 ед. (6*(330-210)=720 ед.).
С помощью оценок двойственности можно понять эффектно или не эффектно было бы производить изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
EMBED Equation.3 =2*0+2*1,5+2*2,25-12=-4,5 < 0, это значит что изделие выгодно для включения в план, т.к. затраты на его изготовление покрываются полученной прибылью.
Задача 3 TC "Задача 3" \f C \l "1"
Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске; продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).
Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2, 3; j= 1, 2, 3) элементов технологической матрицы A (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
Проверить продуктивность технологической матрицыA = (аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Построить баланс (заполнить таблицу) производства ираспределения продукции предприятий холдинга.
Решение:
Опишем модель Леонтьева в общем виде
EMBED Equation.3
Отдельные элементы матрицы прямых материальных затрат вычисляются по формуле:
EMBED Equation.3
С учетом представленных формул модель Леонтьева для решения данной задачи такова:
EMBED Equation.3
Задача 4 TC "Задача 4" \f C \l "1"
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос 7(0 (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Y(t) = a0+а1t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда.
Построить адаптивную модель Брауна Y(t) =a0+a1k с параметром сглаживания ? = 0,4 и ? = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение.
Проверяем наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:
Вычисляется число EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 =7,29;
EMBED Equation.3 =0,55;…
Значения ?n представлены в таблице:
Все значения ?n расчетные меньше чем табличное ? = 1,5, следовательно аномальных явлений нет.
Рассчитаем начальные параметры модели используя метод наименьших квадратов. Суть метода наименьших квадратов при исследовании модели Y(t) = a0+а1t необходимо найти такие значения a0 и а1 , которые минимизируют сумму квадратов отклонений расчетных значений от наблюдаемых: EMBED Equation.3 . Чтобы получить выражение для вычисления а0 и а1 и найти min S от двух переменных, необходимо производные этой функции по каждой переменной приравнять к нулю. В рамках решения полученной системы уравнений получим следующие выражения для а0 и а1: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
Модель Брауна: EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
Заполним таблицу расчетных значений с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,4 (рис. 4.) с помощью Excel, мастер функций.
Рис. 4. Таблица расчетных значений с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,4, вычисленная с помощью Excel, мастер функций.
Рис. 5. Формульный шаблон решения таблиц «Оценка начальных значений параметров модели» и «Оценка параметров модели Брауна».
Заполним таблицу расчетных значений с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,7 (рис. 6) с помощью Excel, мастер функций.
Рис. 6. Таблицу расчетных значений с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,7 с помощью Excel, мастер функций.
Формулы все те же, только с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,7 (см. рис. 4.).
Выберем лучшее значение параметра сглаживания, для этого сравним ошибки E(t): модель с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,4, E(t)=0,06, а модель с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,7, E(t)=0,05, следовательно лучшее значение параметра сглаживания EMBED Equation.3 =0,7.
Оценим адекватность построенных моделей:
Модель с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,4:
Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в столбце «F», рис. 7. ,их количество равно четырем (р=4).
Рис. 7. Таблица: «Точки пиков».
EMBED Equation.3
Правая часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.
Проведем проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.
EMBED Equation.3 =2,425+4,626=7,051
EMBED Equation.3
RS=R/S=7,051/2,593=2,72, это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для n = 10 и уровня значимости ?= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.
Переходя к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице (рис.7) это математическое ожидание равно 0,06: 9 = 0,007 и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента.
Для проверки независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дарбина—Уотсона. Расчеты по формуле EMBED Equation.3 , представленные в столбцах «G,H,I» (рис. 8.)
дают следующее значение этого критерия: d = 142,310 : 53,8 = 2,65. Эта величина превышает 2, что свидетельствует об отрицательной автокорреляции, поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобразовать: d' = 4-d = 4- 2,65 =1.35. Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия, которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d1 =1,08 и d2 — 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от d2 до 2, то делается вывод о независимости уровней остаточной последовательности.
Из сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является адекватной.
Модель с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,7:
Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в столбце «F», рис. 9. ,их количество равно четырем (р=4).
Рис. 9. Таблица: «Расчетные значения».
EMBED Equation.3
Правая часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.
Проведем проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.
EMBED Equation.3 =2,216+3,556 =5,772
EMBED Equation.3 3,734
RS=R/S=5,772/3,734=1,546, это значение не попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для n= 10 и уровня значимости ?= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения не выполняется.
Переходя к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице (рис.7) это математическое ожидание равно 0,047: 9 = 0,005 и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента.
Для проверки независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дарбина—Уотсона. Расчеты по формуле EMBED Equation.3 , представленные в столбцах «P,Q,R» (рис. 9.)
дают следующее значение этого критерия: d = 81,797 : 29,872 = 2,738. Эта величина превышает 2, что свидетельствует об отрицательной автокорреляции, поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобразовать: d' = 4-d = 4- 2,738 = 1,262. Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия, которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d1 =1,08 и d2 — 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от d2 до 2, то делается вывод о независимости уровней остаточной последовательности.
Из сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет не всем свойствам случайной компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является не адекватной.
Для характеристики точности модели воспользуемся показателем средней относительной ошибки аппроксимации, который рассчитывается по формуле:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Рис. 10. Таблица в Excel «Средние относительные ошибки».
Средние относительные ошибки не должны превышать 5%, в нашем случае ?Е(0,4)=0,124<5% и ?Е(0,7)=0,101<5%. Полученные значения средних относительных ошибок говорят о достаточно высоком уровне точности обоих построенных моделей.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
Модель с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,4:
EMBED Equation.3
Y(t)пр= EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
Рис. 11. График и тренд расчетных значений временного ряда.
EMBED Equation.3 ;
Y(n+L)+U(L) – верхняя граница прогноза;
Y(n+L)-U(L) – нижняя граница прогноза;
P=70%; ?=0,3; t?=1,05; t=10; L=1; n=9.
Результаты вычислений представим в таблице 1.
Модель с параметром сглаживания EMBED Equation.3 =0,7:
EMBED Equation.3
Y(t)пр= EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
Рис. 12. График и тренд расчетных значений временного ряда.
EMBED Equation.3 ;
Y(n+L)+U(L) – верхняя граница прогноза;
Y(n+L)-U(L) – нижняя граница прогноза;
P=70%; ?=0,3; t?=1,05; t=11; L=2; n=9.
Результаты вычислений представим в таблице 1.
