EMBED Equation.3 ЗАДАЧА 1
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3, ?2=0,6, ?3=0,3
оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации
оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимость уровней ряда остатков по d- критерию (критические значения d1=1,10; d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21
4. построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год
5. отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица 1
Исходные данные

1.Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3, ?2=0,6, ?3=0,3
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет вид:
EMBED Equation.3 (1)
где ? – период упреждения;
Yp(t) – расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
a(t), b(t) и F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных L=12)
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
EMBED Equation.3 (2)
EMBED Equation.3 (3)
EMBED Equation.3 (4)
Из формул 1-4 видно, что для расчета a(1), b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t=1-1=0)
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:
EMBED Equation.3 (5)
EMBED Equation.3 (6)
EMBED Equation.3 (7)
EMBED Equation.3 (8)
EMBED Equation.3 (9)
EMBED Equation.3 =1/8*(1+2+3+4+5+6+7+8)=4,5
EMBED Equation.3 =1/8*(41+52+62+40+44+56+68+41)=50,5
Таблица 2
Данные, необходимые для расчета a(0) и b(0)

EMBED Equation.3 =33/42=0,79
EMBED Equation.3 =50,5-0,79*4,5=46,96
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
EMBED Equation.3 =46,96+0,79*t
Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) (таблица 3)
Yp(1)=46,96+0,79*1=47,75
Таблица3
Сопоставим расчетные значения Yp(t) с фактическими значениями для оценки приближенных значений коэффициентов сезонности I-IV кварталов:
F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=(41/47,75+44/50,89)=0,8616
F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=(52/48,54+56/51,68)=1,0775
F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=(62/49,32+68/52,46)=1,2766
F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=(40/50,11+41/53,25)=0,7841
Найдем Yp(t):
EMBED Equation.3 =Y(0+1)=[a(0)+k*b(0)]*F(0+1-4)=(46,96+1*0,79)*0.8616=41,14
Рассчитаем a(t), b(t), F(t) полагая что t=1
EMBED Equation.3 =a(1)=?1*Y(1)/F(1-4)+(1- ?1)*[a(1-1)+b(1-1)]=0,3*41/0,8616+(1-0,3)*[46,96+0,79]=47,7
EMBED Equation.3 =b(1)=?3*[a(1)-a(0)]+(1- ?3)*b(0)=0,3*(47,7-46,96)+(1-0,3)*0,79=0,77
EMBED Equation.3 =F(1)=?2*Y(1)/a(1)+(1-?2)*F(1-4)=0,6*41/47,7+(1-0,6)*0,86=0,86
Аналогично рассчитаем для t=2,3 и 4
Для t=5
Yp(5)=[a(4)+1*b(4)]F(1)=(50,06+1*0,82)*0,86=43,77
a(5)=?1*Y(5)/F(1)+(1- ?1)*[a(4)+b(4)]=0,3*44/0,86+(1-0,3)*(50,06+0,82)=50,96
b(5)= ?3*[a(5)-a(4)]+(1- ?3)*b(4)=0,3*(50,96-50,06)+(1-0,3)*0,82=0,84
F(5)= ?2*Y(5)/a(5)+(1-?2)*F(1)=0,6*44/50,96+(1-0,6)*0,86=0,86
Аналогично для t=6,7,8…,16
Таблица 4
Модель Хольта-Уинтерса
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации
Суммарное значение относительных погрешностей составляет 21,44 (Графа 8, 4 таблицы), что дает среднюю величину равную 1,34%, что меньше 5 %, следовательно, условие точности выполнено.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков
Таблица 5
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Общее число поворотных точек р=10
Рассчитаем значение q:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Количество поворотных точек р больше q (10>6), следовательно, условие случайности уровней выполнено.
a) проверка независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10; d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32
EMBED Equation.3 =33,0742/13,0777=2,53
2,53>2, следовательно, имеет место отрицательная автокорреляция. Значит необходимо уточнить величину d:
4-d= 4-2,53=1,47
2>d>d2 (2>1,47>1,37), следовательно, уровни ряда остатков являются независимыми.
EMBED Equation.3 =-3,7096/13,0777=-0,28
EMBED Equation.3 (¦-0,28¦<0,32), значит, уровни независимы.
б) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию.
EMBED Equation.3
где Emax – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);
Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t);
S – среднее квадратическое отклонение.
Emax –2,32
Emin - (-1,74)
Emax – Emin =2,32+1,74=4,06
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0,934
RS=4,06/0,934=4,35
4,35>4,21 следовательно, уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год
Уp(17)=[a(16)+1*b(16)]*F(16+1-4)=(61,04+0,96)*0.88=54,69
Уp(18)=[a(16)+1*b(16)]*F(14)=(61,04+0,96)*1,08=68,14
Уp(19)=[a(16)+1*b(16)]*F(15)=(61,04+0,96)*1,28=81,55
Уp(20)=[a(16)+1*b(16)]*F(16)=(61,04+0,96)*0,77=50,15
5. Отразит на графике фактические, расчетные и прогнозные данные

Расчетные значения хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
ЗАДАЧА 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА);
момент (МОМ);
скорость изменения цен (ROCt);
индекс относительной силы (RSI);
%R, %K, %D
Исходные данные
Найдем ЕМА
EMBED Equation.3
К=2/(n+1)=2/6=0.33
EMBED Equation.3
Алгоритм расчета:
Выбрать интервал сглаживания (n=5)
Вычислить коэффициент К (К=2/(n+1)=2/6=0,33).
Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложить цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделить на 5 и записать в графы 3 и 4 за 5-й день.
Данные по ЕМА за предыдущий день взять из предыдущей строки 4 и умножить на (1-К). (для 6 дня: 739*0,33+655,4*(1-0,33)=678,37)


Значения MA и ЕМА


Цена закрытия и ЕМА не пересекаются, следовательно, сигнала к покупке или продаже нет.
Найдем МОМ
МОМt=Ct-Ct-n
МОМ1=689-645=44
МОМ2=725-632=93

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении.
У нас наблюдается движение графика вверх, что считается достаточно мощным сигналом к покупке.
Найдем ROCt
ROCt=Ct/Ct-n*100%
ROC1=689/645*100=106,8217
ROC2=725/632*100=114,7152 и т.д.

В качестве нулевой линии используется уровень 100%
На графике видно, что ROC находится выше нулевого уровня. Наблюдается рост, что свидетельствует о необходимости покупать.
Рассчитаем RSI
RSI=100-100/(1+AU/AD)
где AU – сумма приростов конечных цен за n дней;
AD – сумма убыли конечных цен.
Расчеты приведены в таблице.

Зона перепроданности – 25-20, а перекупленности – выше 75-80.
Как видно из рисунка, индекс относительной силы находится в зоне перекупленности, значит цены сильно выросли, надо ждать их падения и подготовиться к продаже. Сигналом к продаже служит момент выхода графика RSI из зоны перекупленности.
Стохастические линии
%Kt=100*(Ct-L5)/(H5-L5)
где %Kt – значение индекса текущего дня
L5 и H5 – соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
%Rt=100*(Hn-Ct)/(Hn-Ln)
EMBED Equation.3
Пример расчетов этих индексов приведен в таблице:
Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записывают максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.
В графе 7 записывают (Сt-L5) – разность между данными графы 4 и графы 6.
Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е результат разности (H5-Ct)


%К>50%, следовательно цена тяготеет к росту.

Когда %R растет, то это свидетельствует о падении цены. Из графика видно, что рост цены наблюдается на 7 и 9 день, падение цены наблюдается на 5.6 и 8 день.

Цена тяготеет к повышению, так как %D>50 %
ЗАДАЧА 3
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет - время в годах, i – ставку в процентах и т.д.
S=4 500 000;
Tн (дата начальная) - 09.01.02;
Тк (дата конечная) – 21.03.02;
Тдн. (время в днях) – 90;
Тлет (время в годах) – 5;
i (ставка) – 50;
m (число начислений) – 4.
3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
3.1.1) К=365, t=22,5+28+20,5=71 день
I=Sni=Sit/K=4500000*0.5*71/365=437671.23руб.
3.1.2) K=360, t=71
I=4500000*0.5*71/360=443750руб.
3.1.3) K=360, t=22.5+30+20.5=73 дня
I=4500000*0.5*73/360=456250руб.
3.2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Тдн =90
Р=S/(1+ni), где n=Тдн/360=90/360=0,25
D=S-P
P=4500000/(1+0.25*0.5)=4000000руб.
D=4500000-4000000=500000руб.
3.3. Через Тдн предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дней). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Учетная ставка находится по формуле:
D=(S-P)/Sn
Размер дисконта или учета, удержанный банком равен:
D=S*d*n, следовательно, P=S-D=S-Snd=S(1-nd)
D=4500000*0.5*(90/360)=562500руб.
P=4500000-562500=3937500руб.
3.4 В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована ставка сложных процентов. Равная i% годовых. Определить наращенную сумму
EMBED Equation.3
n=5 лет
S=4500000*(1+0.5) EMBED Equation.3 =34171875руб.
3.5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Начисление процентов по номинальной ставке производиться по формуле:
EMBED Equation.3
N – число периодов начисления (N=m*n)
S=4500000*(1+0.5/4) EMBED Equation.3 =47452922руб.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых
EMBED Equation.3 =0,6018, т.е. 60,18%
3.7 Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году. Чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
EMBED Equation.3 =
3.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
P=4500000*(1+0.5) EMBED Equation.3 =592592.6руб.
3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
P=S(1-dсл) EMBED Equation.3 годовых. вексель по сложной учетной ставке вии при начтыпо формуле:
я по простой процентной ставке