Задача 1
В обработку поступили две партии досок для изготовления комплектов из трех деталей (треугольные каркасы настилов на стройплощадку), причем, вторая содержит 200 досок длиной по 4 м каждая. Каждый комплект состоит из двух деталей по 2 м каждая и одной детали в 1,25 м.
Ставится задача поиска рационального варианта раскроя поступившего в обработку материала
Экономико-математическая модель
Обозначим через хij – количество деталей распиленного из досок i-ой партии для j – ой детали.
Целевая функция – это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать (общая количество треугольных каркасов). Так как Треугольные каркасы из условия являются равнобедренными:
f(x) = х13 + х23 ? max
х11 + х21 = х12 + х22 - условие равнобедренного треугольника
х11 + х21 = х13 + х23 - условие полной комплектации изделия – треугольник (количество ребер должно соответствовать количеству оснований треугольника)
2х11 + 2х12 + 1,25х13 ? 6,5*52 – ограничение по длине досок первой партии
2х21 + 2х22 + 1,25х23 ? 4*200 – ограничение по длине досок во второй партии
xij ? 0, целое
Решение
1. Ввод исходных данных в ячейки
2. Создание матрицы расскроя. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С4:E5), где будет после решения задачи находится план раскроя обеспечивающий максимальное количество треугольников.
3. Ввод ограничений
Назначение целевой функции.
f(x) = х13 + х23 ? max
Для этого:
- курсор в ячейку С8;
- используем функцию СУММ (E4:E5)
Ввод зависимостей из математической модели
Ввод ограничений.
Щелкнуть Параметры;
Установит Неотрицательные значения, так как количество перевозок не может быть отрицательно величиной;
ОК;
Нажать выполнить.
Просмотр результатов и печать отчета
Вывод: Общее число комплектов будет максимальным (216 шт.) если из досок первой партии будет вырезано 151 шт. первой детали, 16 шт. второй, а из второй партии досок65 шт. 1-ой детали, 200 шт. 2-ой детали и 216 шт. 3-ей детали.
Задача 2
Транспортная задача
Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у.е.) на перевозку 1 тонны песку с карьеров на ремонтные участки.
Числовые данные для решения содержатся ниже в матрице планирования.
Требуется:
Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки
Определить, что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами.
Экономико-математическая модель
F = EMBED Equation.3 сijxij ?min
EMBED Equation.3 xij = ai,
EMBED Equation.3 xij = bj ,
xij ? 0, целое
где xij - объем поставки песка от i-го карьера к j-му участку;
aj – мощность i-го карьера;
bj – мощность потребности j-го участка;
сij – транспортные затраты доставки 1 тонны песка от i-го карьера к j-му участку;
n – количество участков;
m – количество карьеров.
Конкретно для данной задачи модель имеет вид:
F = 3х11 + 3х12 + 5х13 + 3х14 + 4х15 + 4х21 + 3х22 + 2х23 + 4х24 + 5х25 + 3х31 + 7х32 +5х33 + 4х34 + х35 + ?min
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 500
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 300
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 100
х11 + х21 + х31 = 150
х12 + х22 + х32 = 350
х13 + х23 + х33 = 200
х14 + х24 + х34 = 100
х15 + х25 + х35 =100
xij ?0, xij - целое
1. Ввод исходных данных в ячейки
2. Создание формы для решения задачи предполагает создание матрицы перевозок. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С10:G12), где будет после решения задачи находится план перевозок груза, обеспечивающих минимальные транспортные затраты. Для того чтобы решить задачу составим модель закрытой транспортной задачи, поэтому введем дополнительный восьмой склад.
3. Ввод ограничений условий.
Условие реализации мощности карьеров:
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 500
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 300
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 100
Для этого:
- курсор в ячейку H10;
- используем функцию СУММ(С10:G10)
Аналогичные действия для ячеек H11 – H12.
Назначение целевой функции.
Суммарные транспортные затраты составят:
F = 5х11 + 3х12 + 4х13 + 6х14 + 4х15 + 12х16 +3х21 + 4х22 + 10х23 + 5х24 + 7х25 + 4х31 + 6х32 +9х33 + 3х34 + 4х35 + ?min
В задаче целевая функция представляет собой произведение удельных транспортных расходов (C3:G5) и количество перевозок (C10:G12). Для этого:
- курсор в ячейку С15;
- используем функцию СУММПРОИЗВ(C3:G5;C10:G12)
5. Ввод зависимостей из математической модели
- адрес целевой ячейки $С$15, направление изменение целевой функции – минимизация;
- адреса изменяемых ячеек $C$10: $G$12;
- ввод ограничений:
$C$10: $G$12= целое – так как количественное значение перевозок целочисленное;
$C$13: $G$13= $C$6: $G$6и $H$10: $H12 = $H$3: $H$5 – из условия модели.
Ввод ограничений.
Щелкнуть Параметры;
Установить Линейная модель;
Установит Неотрицательные значения, так как количество перевозок не может быть отрицательно величиной;
ОК;
Нажать выполнить.
Просмотр результатов и печать отчета
Вывод:
Транспортные издержки минимальны и составляют 2300 у.е. при следующем оптимальном плане перевозок :
2. а) Для ответа на дополнительный вопрос, вводится дополнительное условие: Х12 = 0.
Минимальные транспортные издержки составят 3100 у.е. при следующем оптимальном плане перевозок:
2 б) если объем перевозок будет ограничен 3 тоннами, то вводится дополнительное условие: Х12 ? 3.
Минимальные транспортные издержки составят 3088 у.е. при следующем оптимальном плане перевозок:
Задача 3
Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной ед. продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе. Тарифы на перевозку единицы продукции, объемы запасов продукции на складах, а также объемы заказанной продукции представлены в таблице.
2. Создание матрицы перевозок. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С14:G18), где будет после решения задачи находится план перевозок обеспечивающих минимальные транспортные затраты. Чтобы преобразовать данную открытую задачу в закрытую транспортную задачу необходимо добавить магазин.
3. Ввод ограничений условий.
Условие реализации мощности склада: ai = EMBED Equation.3 xij
где aj – мощность i-го склада;
n – количество клиентов;
Конкретно для данной задачи:
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 54
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 32
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 85
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 162
Так как заказов от потребителей больше чем запасов на складе.
Для этого:
- курсор в ячейку I14;
- используем функцию СУММ(C13:H13)
Аналогичные действия для ячеек I13 – I16.
Условие реализации потребности клиентов: bj = EMBED Equation.3 xij
где bj – мощность потребности j-го клиента.
m – количество складов.
Конкретно для данной задачи:
х11 + х21 + х31 + х41 + х51 = 100
х12 + х22 + х32 + х42 + х52 = 70
х13 + х23 + х33 + х43 + х53 = 30
х14 + х24 + х34 + х44 + х54 = 45
х15 + х25 + х35 + х45 + х55 = 50
х16 + х26 + х36+ х46 + х56 = 38
Для этого:
- курсор в ячейку С19;
- используем функцию СУММ(C14:C18)
Аналогичные действия для ячеек D19 – G19.
Назначение целевой функции.
Суммарные транспортные затраты составят: F = EMBED Equation.3 сijxij ?min
где сij – транспортные расходы доставки единицы груза j-му клиенту из i-ый склад.
F = 12х11 + 14х12 + 32х13 + 20х14 + 3х15 + 8х21 +10х22 + 12х23 + 24х24 + 12х25 + 6х31 + 8х32 + 12х33 + 24х34 + 8х35 + 10х41 +18х42 + 4х43 + 8х44 + 9х45 ?min
В задаче целевая функция представляет собой сумму произведения удельных транспортных расходов (C13:H16) и количества перевозок (C4:H7). Для этого:
- курсор в ячейку С19;
- используем функцию СУММПРОИЗВ(C4:H7;C13:H16)
Ввод зависимостей из математической модели
- адрес целевой ячейки $С$19, направление изменение целевой функции – минимизация;
- адреса изменяемых ячеек C13:H16;
- ввод ограничении:
C13:H16= целое – так как количественное значение перевозок целочисленное;
$C$8:$H$8=$С$17: $H$17 и $I$4:$I$7= $I$13:$I$16– из условия модели.
Ввод ограничений.
Щелкнуть Параметры;
Установит Неотрицательные значения, так как количество перевозок не может быть отрицательно величиной;
ОК;
Нажать выполнить.
Просмотр результатов и печать отчета
Вывод: транспортные издержки будут минимальны и составят 89 ден.ед. при следующем плане перевозок продукции:
Отчет по результатам
Задача 4
Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной ед. продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе.
Тарифы на перевозку единицы продукции, объемы запасов продукции на складах, а также объемы заказанной продукции представлены в таблице.
2. Создание матрицы перевозок. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С13:G16), где будет после решения задачи находится план перевозок обеспечивающих минимальные транспортные затраты. Чтобы преобразовать данную открытую задачу в закрытую транспортную задачу необходимо добавить магазин.
3. Ввод ограничений условий.
Условие реализации мощности склада: ai = EMBED Equation.3 xij
где aj – мощность i-го склада;
n – количество клиентов;
Конкретно для данной задачи:
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 25
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 30
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 40
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 50
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 40
Так как заказов от потребителей больше чем запасов на складе.
Для этого:
- курсор в ячейку H13;
- используем функцию СУММ(C13:G13)
Аналогичные действия для ячеек H14 – H16.
Условие реализации потребности клиентов: bj = EMBED Equation.3 xij
где bj – мощность потребности j-го клиента.
m – количество складов.
Конкретно для данной задачи:
х11 + х21 + х31 + х41 = 20
х12 + х22 + х32 + х42 = 15
х13 + х23 + х33 + х43 = 25
х14 + х24 + х34 + х44 = 30
х15 + х25 + х35 + х45 = 25
Для этого:
- курсор в ячейку С17;
- используем функцию СУММ(C13:C16)
Аналогичные действия для ячеек D17 – G17.
Назначение целевой функции.
Суммарные транспортные затраты составят: F = EMBED Equation.3 сijxij ?min
где сij – транспортные расходы доставки единицы груза j-му клиенту из i-ый склад.
F = х11 + 2х13 + 2,5х14 + 3х21 +2,5х22 + 1,4х23 + 2х24 + 2х31 + х32 + 4х33 + 3х34 + 1,7х41 + 3х42 + 3,5х43 + 0,5х44 ?min
В задаче целевая функция представляет собой сумму произведения удельных транспортных расходов (C4:G7) и количества перевозок (C13:G16). Для этого:
- курсор в ячейку С19;
- используем функцию СУММПРОИЗВ(C4:G7;C13:G16)
Ввод зависимостей из математической модели
- адрес целевой ячейки $С$19, направление изменение целевой функции – минимизация;
- адреса изменяемых ячеек C13:G16;
- ввод ограничении:
C13:G16= целое – так как количественное значение перевозок целочисленное;
$C$8:$H$8=$С$17: $H$17 и $I$4:$I$7= $I$13:$I$16– из условия модели.
Ввод ограничений.
Щелкнуть Параметры;
Установит Неотрицательные значения, так как количество перевозок не может быть отрицательно величиной;
ОК;
Нажать выполнить.
Просмотр результатов и печать отчета
Вывод: транспортные издержки будут минимальны и составят 81,5 ден.ед. при следующем плане перевозок продукции:
Отчет по результатам
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель y=a0+a1t, определив ее параметры на основе метода наименьших квадратов.
Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании RS-критерия взять табулирование таблицы 2,7-3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие 2 недели (Р=70%)
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение с помощью «Пакет анализа» MS EXCEL
Аномальные явления отсутствуют
Проверка наличия тренда
Применение инструмента Регрессия (Анализ данных в EXCEL).
Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:
1. Выберем команду Сервис => Анализ данных.
2. В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Регрессия, а затем щелкним на кнопке ОК.
3. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал t вводим адреса диапазонов, которые содержат значения независимых переменных .
4. Установите флажок Метки в первой строке.
5. Выберите параметры вывода новый рабочий лист
6. В поле Остатки поставим необходимые флажки.
7. ОК.
Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии приведены в столбце «t-статистика» таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ». Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.
Определение табличного значения t-критерия Стьюдента
Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (9 -1 -1 = 7) составляет 2,36. Так как |tрасп|>tтабл то коэффициенты а0, а и а1 уравнения значимы, то есть гипотеза о наличии тренда принимается.
Значения коэффициентов уравнения регрессии приведены в столбце «Коэффициенты» таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ». Линейное уравнение принимает вид: y=40,8+2,58t
3 Оценим адекватность полученной модели.
а) проверка гипотезы о случайности отклонений остаточной компоненты.
График остатков
Расчетное значение критерия пиков равно:
EMBED Equation.3
Из графика остатков видно, что количество поворотных точек равно 4, что больше 2 - критического числа поворотных точек. Модель по этому критерию адекватна. Тренд существует
б) проверка гипотезы о независимости уровней ряда остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона. Данные возьмем из таблицы Дисперсионный анализ таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ».
EMBED Equation.3
4 - 2,77= 1,23 – автокорреляция отсутствует
в) проверка гипотезы о нормальности закона распределения уровней остаточной компоненты на основе RS критерия.
Среднеквадратическое отклонение: Sе = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 1,67
EMBED Equation.3 .
Т.к. расчетное значение входит в заданные границы [2,7, 3,7] то гипотеза принимается.
г) проверка гипотезы о близости к нулю математического ожидания остатков.
Легко из представленной в п. а) таблицы убедится, что математическое ожидание ряда остатков равно нулю, т.е. |еср| = 0. Модель по этому критерию адекватна.
На основании четырех рассмотренных гипотез нельзя сделать однозначный сделать вывод об адекватности построенной модели исходному временному ряду.
4 Построим точечный и интервальный прогноз.
а) точечное прогнозирование.
у(10)= 40,9+2,6*10=66,7
у(11)= 40,9+2,6*11 =69,3
б) интервальный прогноз. Расчет доверительного интервала EMBED Equation.3
Кр= 1,05 - табличное значение t-статистики Стьюдента. Соответствует 70% процентному пропаданию
Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:
Верхняя граница прогноза: Yр(N+l)+ U(1)
Нижняя граница прогноза: Yр(N+l)- U(1)
Интервальный прогноз:
2. Решение с помощью Мастер диаграмм
Выберем приложение Мастер диаграмм
Сгладить временной ряд методом простой скользящей средней.
Отобразим на графике рассчитанные значение простой скользящей средней аналогично предыдущему построению
Определить наличие тренда:
Определим тип тренда - линейный
Построенный тренд практически полностью совпадает с фактическими значениями временного ряда
3) Построить линейную модель y=a0+a1t;
В параметрах тренда укажем пункты: показать уравнение и достоверность аппроксимации
Таким образом, линейное уравнение принимает вид: y=25,7+2,6
R2 =0,944 говорит о том, что 94,4% значений ряда объясняется анализируемым фактором.
Построим прогноз на 2 шага вперед
В параметрах тренда поставим значение прогноза вперед на 2 единицы
Прогнозные значения
3. Решение с помощью СтатЭксперта
Для начала создадим файл исходных данных:
Инсталируем среду Ecxel;
Введем значения уровней нашего временного ряда на Листе1 в виде таблице;
Заполним данные под своей фамилией.
Инсталлировать программу «СтатЭксперт».
Кл. «Пуск» EMBED Equation.3 «Программы» EMBED Equation.3 «Олимп» EMBED Equation.3 «СтатЭксперт»;
«Включить макросы» EMBED Equation.3 «Начало работы» EMBED Equation.3 «ОК»
Включить режим работы программы:
Активизировать файл исходных данных;
Включить цифровые данные файла;
«СтатЭкс» EMBED Equation.3 «Временные ряды»
ПРЕДВАНИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ
Окно «Установка блока данных» (рис.1)
Ориентация таблицы: флажок в окно «по строкам»;
Наличие наименований: убрать флажки во всех окнах EMBED Equation.3 Кл. «Утановить».
Рисунок 1.
Окно «Предварительный анализ данных» (рис.3)
Выключить флажок в строке «Предварительный анализ» EMBED Equation.3 Кл. Вычислить.
При обнаружение аномальных данных в вашем ряду нажать клавишу «Да».
Полученный отчет перенести в файл, сформированный в среде WORD (табл. 2,3):
Цвет заливки «Белый»
Цвет шрифта «Черный»
Копировать файл в среду WORD.
Таблица 2
Таблица 3
Для статистического анализа одномерных временных рядов экономических показателей вида у1, у2, …уn абсолютные уровни моментных и интервальных рядов, а также уровни из средних величин должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу сравнения – базисные показатели, либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем – цепные показатели.
Абсолютный прирост (?уi) – это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным).
Абсолютный прирост:
?уi = yi – yi-k
где yi - i-ый уровень ряда;
k – определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования: при k = 1 получаются цепные показатели, при k = i – 1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного.
Темп роста:
Тiпр = yi/ yi-k *100%
Темп прироста:
Тiпр = (yi – yi-k)/ yi-k *100%
Абсолютный прирост – это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным).
Темп роста – отношение уровней ряда динамики, которое выражается в коэффициентах и процентах.
Темп прироста показывает на сколько процентов уровень ряда одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого.
Таблица 4
Средняя арифметическая:
EMBED Equation.3 .
Средний темп роста:
EMBED Equation.3
где Т1р, …. Тnр, - средние темпы роста за отдельные интервалы времени
Средний темп прироста:
EMBED Equation.3
Средний абсолютный прирост:
EMBED Equation.3
Метод Фостера - Стьюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д.
Реализация метода также содержит четыре этапа.
На первом этапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:
kt = l, если yt больше всех предыдущих уровней;
0, в противном случае,
lt = 1, если yt меньше всех предыдущих уровней;
0, в противном случае
t = 2,3,...,n.
На втором этапе вычисляются величины s и d
Нетрудно заметить, что величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до п-1 (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсии уровней 1 временного ряда и изменяется от - (п-1) (ряд монотонно убывает) до (п-1) (ряд монотонно возрастает).
Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными
отклонение величины s от величины ?— математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,
отклонение величины d от нуля.
Эта проверка проводится с использованием расчетных значений f-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:
где ? - математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;
?1 - среднеквадратическое отклонение для величины s;
?2 - среднеквадратическое отклонение для величины d.
На четвертом этапе расчетные значения ts и td сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости ta. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть.
И так как в данном случае расчетное значение t больше табличного tтабл то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда не принимается, т.е. тренд есть
Таблица 5
В этой таблице проверяется гипотеза об отсутствии соответствующего тренда, т.е . если гипотеза отвергается, то тренд есть.
Аномальное наблюдение – отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое , оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель.
Таблица 6
Типы кривых роста:
а) полиномиальные кривые роста:
EMBED Equation.3 - полином первой степени
EMBED Equation.3EMBED Equation.3 - полином второй степени
EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3- полином третьей степени
где EMBED Equation.3- сглаженный по уравнению тренда уровень временного ряда;
а1 – линейный прирост;
а2 – ускорение роста;
а3 – изменение ускорения роста;
б) экспоненциальные кривые роста:
EMBED Equation.3- простая экспонента;
где а и b – положительные числа, при этом если b больше 1, то функция возрастает с ростом времени, в противном случае убывает.
EMBED Equation.3- модифицированная экспонента;
где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, k носит название асимптоты функции, т.е. значения функции неограниченно приближается снизу к величине k.
Кривая Гомперца - EMBED Equation.3
где а и b – положительные числа, при этом b меньше 1;
k - асимптота функции
Логистическая крива или кривая Перла – Рида:
EMBED Equation.3
где а и b – положительные числа, при этом b меньше 1;
k – предельное значение функции при бесконечном возрастании времени
Критерии по которым выбирается наилучшая модель:
среднее квадратическое отклонение EMBED Equation.3
где k – число определяемых параметров (в этой задачи их три).
средняя относительная ошибка аппроксимации
EMBED Equation.3
коэффициент сходимости
EMBED Equation.3
коэффициент детерминации
R2 =1 - EMBED Equation.3
Таблица 7
Факт – yt (изначально заданные уровни);
Расчет –EMBED Equation.3 (найденные уровни по наилучшей кривой роста)
Абсолютная ошибка - EMBED Equation.3(разница между практическими и расчетными значениями)
Относительная ошибка - EMBED Equation.3
Таблица 8
Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента EMBED Equation.3удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней ряда остаточной последовательности, соответствие распределение случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.
Формулы для таблицы 8:
среднее значение - показывает среднюю относительную ошибку модели:
EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3- абсолютная ошибка
дисперсия: EMBED Equation.3 - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней;
приведенная дисперсия: EMBED Equation.3
средний модуль остатков показывает среднюю относительную ошибку модели по модулю: EMBED Equation.3
средняя относительная ошибка: EMBED Equation.3 - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности, определяется по формуле:
критерий Дарбина-Уотсона, т.к. d = 2,589 существует отрицательная связь, d` = 4 - d = 4 – 2,589 = 1,411, попадает в табличный интервал.
Уравнение значимо с р=0,95 – это значит, что с вероятностью 95% это уравнение отражает тенденцию развития данного временного ряда.
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
В окне «Olympsys.rus» нажать кл. «Data» это возвращение к исходному временному ряду.
Окно «Обработка временных рядов»:
Этапы обработки: флажок в окно «Построение модели и прогнозирование».
Окно « Построение модели и прогнозирование»
Класс моделей: «Кривые роста»;
Тип прогноза: «Прогноз вперед»;
Способ построения прогноза: «На основе одной лучшей модели»;
Структура отчета: все флажки;
Структура отчета: все флажки кроме «Статистики ретропрогноза»;
Период прогноза – 3;
Вероятность свершения прогноза – 80;
«Вычислить».
Таблица 9
Точечный прогноз – прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя.
Интервальный прогноз – сопровождение точечного прогноза двусторонними границами, т.е. указание интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины.
На графики наша модель будет иметь вид (рис.3) :
