Контрольные задания
Задание 1.
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания:
B1=0,3; B2 =0,6; B3 = 0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
4) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Исходные данные:
Решение:
Постройка модели.
t=1,2,…,n
Расчеты производятся последовательно:
Yr(t)= [a(t-1)+b(t-1)]*F(t-l)
a(t)= B1*Y(t)/F(t-l)+(1-B1)*[a(t-1)+b(t-1)]
b(t)= B3[a(t)-a(t-1)]+(1-B3)*b(t-1)
F(t)= B2*Y(t)/a(t)+(1-B2)*F(t-l)
Находим a и b: с помощью программы «мастер диаграмм» построим график с линией тренда и уравнением
Из данного уравнения y = 0.869x + 39.214 мы берем a=39.214 и b=0.869
1) По формуле y(t)=a+t*b найдем y(t)
y(1)= 39.2+1*0.87=40.08;
y(2)= 39.2+2*0.87=40.95;
y(3)= 39.2+3*0.87=41.82
2) F(-3)= (Y(1)/y(1)+Y(5)/y(5)/2=(35/40.08+37/43.46)/2=0.86;
F(-2)= (Y(2)/y(2)+Y(6)/y(6)/2=(44/40.95+48/44.43)/2=1.08;
F(-1)= (Y(3)/y(3)+Y(7)/y(7)/2=(52/41.82+59/45.30)/2=1.27;
F(0)= (Y(4)/y(4)+Y(8)/y(8)/2=(34/42.69+36/46.17)/2=0.79;
3) По формуле a(t)=B1*Y(t)/F(t-l)+(1-B1)*[a(t-1)+b(t-1)] найдем a(t)
a(1)= 0.3*35/0.86+(1-0.3)*(39.21+0.87)=40.25
4) По формуле b(t)=B3[a(t)-a(t-1)]+(1-B3)*b(t-1) найдем b(t)
b(1)= 0.3*(39.21-40.25)+(1-0.3)*0.87=0.92
a(2)= 0.3*44/1.08+(1-0.3)*(40.25+0.92)=41.07
b(2)= 0.3*(40.25-41.07)+(1-0.3)*0.92=0.89
5) По формуле F(t)=B2*Y(t)/a(t)+(1-B2)*F(t-1) найдем F(t)
F(1)= 0.6*35/40.25+(1-0.6)*0.86=0.87
a(5)= 0.3*37/0.87+(1-0.3)*(42.63+0.85)=43.25
b(5)= 0.3*(43.25-42.63)+(1-0.3)*0.85=0.78
6) По формуле Yr(t)=[a(t-1)+b(t-1)]*F(t-l) найдем Yr(t)
Yr(1)= (39.21+0.87)*0.86=34.52
Yr(2)= (40.25+0.92)*1.08=44.35
Yr(3)= (41.07+0.89)*1.27=53.41
7) По формуле e(t)=Y(t)-Yr(t) найдем e(t)
e(1)=35-34.52=0.48
e(2)= 44-44.35=-0.35
e(3)= 52-53.41=-1.41
8) e(t)^2=e(t)*e(t)
e(1)^2= 0.48*0.48=0.23
e(2)^2= (-0.35)*(-0.35)=0.13
e(3)^2= (-1.41)*(-1.41)=1.99
Итоговая сумму e(3)^2=SS=19.97
9) По формуле I=e(t)/Y(t) найдем I
I 1= 0.48/35=0.01
I 2= (-0.35)/44=0.01
I 3= (-1.41)/52=0.03
Итоговая сумма I=0.31
Оценка точности.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 • 100%
E отн. =0.31/16*100=1.937278
Прогноз на год вперед.
y • (t + k) = EMBED Equation.3 • F(t+k-4)
y(17) = (53.59 +1 • 0.88) • 0.89 = 54.47 • 0.89 = 48.26
y(18) = (53.59 +2 • 0.88) • 1.08 = 55.35 • 1.08 = 59.65
y(19) = (53.59 +3 • 0.88) • 1.27 = 56.23 • 1.27 = 71.32
y(20) = (53.59 +4 • 0.88) • 0.77 = 57.11 • 0.77 = 43.93
Видна сезонность за эти 4 года
Построение графика.
График строим по данным таблицы.
На нижеприведённом рисунке проводится сопоставление фактических и расчётных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперёд. Из рисунка видно, что расчётные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Задание 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R,%К и % D.
Расчёты проводить для всех дней, для которых эти расчёты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение:
Для вычисления экспоненциальной средней найдем коэффициент k
n=5
k = EMBED Equation.3
k = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Находим значение EMA по формуле
EMAt = k • Ct + (1 – k) • EMAt – 1
Находим EMAo=C1+C2+C3+C4+C5/5= 675+646+575+570+523/5=597.80
EMA(1)= EMBED Equation.3 • 675 + (1- EMBED Equation.3 )• 597.80 = 623.28
EMA(2)= EMBED Equation.3 • 646 + (1- EMBED Equation.3 )• 623.28 = 630.77
EMA(3)= EMBED Equation.3 • 575 + (1- EMBED Equation.3 )• 630.77 = 612.37
1) Ct-Ct-1
Ct-Ct-1=C(2)-C(2-1)=646-675= -29
C(3)-C(3-1)=575-646= -71
C(4)-C(4-1)=570-575= -5
C(5)-C(5-1)=523-570= -47
C(6)-C(6-1)=506-523= -17
C(7)-C(7-1)=553-506= 47
C(8)-C(8-1)=570-553= 17
C(9)-C(9-1)=564-570= -6
C(10)-C(10-1)=603-564= 39
2) Найдем прирост конечных цен за 5 последних дней (AU):
AU(7)=47
AU(8)=47+17=67
AU(9)=47+17=67
AU(10)=47+17+39=103
3) Найдем убыль конечных цен за 5 последних дней (AD):
AD(6)= (-29)+(-71)+(-5)+(-47)+ (-17)= -169=169
AD(7)= (-71)+(-5)+(-47)+ (-17)= -140=140
AD(8)= (-5)+(-47)+ (-17)= -69=69
AD(9)= (-47)+ (-17)+ (-6)= -70=70
AD(10)= (-17)+ (-6)= -23=23
4) Сумма прироста и убытка цен за 5 последних дней (AU+AD):
AU(6)+AD(6)= 0+169=169
AU(7)+AD(7)= 47+147=187
AU(8)+AD(8)= 64+69=133
AU(9)+AD(9)= 64+70=134
AU(10)+AD(10)= 103+23=126
5) Найдем индекс относительной силы за 5 последних дней (RSI):
RSI=AU/(AU+AD)*100%
RSI(6)=0
RSI(7)=47/187*100=25.13
RSI(8)=64/133*100=48.12
RSI(9)=64/134*100=47.76
RSI(10)=103/126*100=81.75
6) Найдем момент за 5 последних дней (MOM):
MOM=C6-C1
MOM(6)=506-675=-169=169
MOM(7)=553-646=-93=93
MOM(8)=570-575=-5=5
MOM(9)=564-570=-6=6
MOM(10)=603-523=80
7) Найдем скорость изменения цен за 5 последних дней (ROC):
ROC=C6/C1*100%
ROC(6)=506/675*100%=74.96
ROC(7)=553/646*100%=85.60
ROC(8)=570/575*100%=99.13
ROC(9)=564/570*100%=98.95
ROC(10)=603/523*100%=115.30
8) Найдем min и max значения цены за 5 дней (H5-L5)
H5-L5(5)=718-501=217
H5-L5(6)=685-501=184
H5-L5(7)=629-500=129
H5-L5(8)=598-500=98
H5-L5(9)=598-500=98
H5-L5(10)=603-500=103
9) Ct-L5
Ct-L5(5)=523-501=22
Ct-L5(6)=506-501=5
Ct-L5(7)=553-500=53
Ct-L5(8)=570-500=70
Ct-L5(9)=564-500=64
Ct-L5(10)=603-500=103
10) Найдем цену индекса за 5 дней (%Kt)
%Kt=(Ct-L5)/(H5-L5)*100%
%Kt(5)=22/184*100=10.14
%Kt(6)=5/184*100=2.72
%Kt(7)=53/129*100=41.09
%Kt(8)=70/98*100=71.43
%Kt(9)=64/98*100=65.31
%Kt(10)=103/103*100=100
11) %Rt
%Rt=100-%Kt
%Rt(5)=100-10.14=89.86
%Rt(6)=100-2.72=97.28
%Rt(7)=100-41.09=58.91
%Rt(8)=100-71.43=28.57
%Rt(9)=100-65.31=34.69
%Rt(10)=100-100=0
12) ?(Ct-C5)
?(Ct-C5)(7)=10.14+2.72+41.09=53.94
?(Ct-C5)(8)=2.72+41.09+71.43=115.23
?(Ct-C5)(9)=41.09+71.43+65.31 =177.82
?(Ct-C5)(10)=71.43+65.31+100 =236.73
13) ?(H5-L5)
?(H5-L5)(7)=217+184+129=530
?(H5-L5)(8)=184+129+98=411
?(H5-L5)(9)=129+98+98=325
?(H5-L5)(10)=98+98+103=299
14) %Dt
%D= ?(Ct-C5)/ ?(H5-L5)*100%
%D(7)=53.94/530*100=10.18
%D(8)=115.23/411*100=28.04
%D(9)=177.82/325*100=54.71
%D(10)=236.73/103*100=79.18
Задание 3.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, T лет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчет.
3.1. Банк выдал ссуду, размером 2 500 000 руб. Дата выдачи ссуды – 15.01.2002, возврата – 15.03.2002. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 0.3 % годовых.
Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды.
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб. - сумма
Tн = 15.01.02 - начальная дата
Tк = 15.03.02 - конечная дата
i= 30% = 0,3% - процентная ставка
———————————————
Рассчитываем по формуле I= S* i EMBED Equation.3
а) K = 365, n = 59
I=2 500 000 * 0.3 EMBED Equation.3 = 2 500 000 * 0.047 = 117 500 руб..
Ответ:
Точные проценты с точным числом дней ссуды составляют 120 000 руб.,
обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды составляют 122 500руб., обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды составляют 117 500 руб.
Задание 3.2.
Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 2 500 000 руб. Кредит выдан под 0.3 % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб.
Тдн = 180
i = 0.3%
Найти:
P, D - ?
———————————————
Рассчитываем по формулам P = S / (1 + i EMBED Equation.3 ), D = S – P
P = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 2 173 913 руб.
D = 2 500 000 – 2 173 913 = 326 087 руб.
Ответ:
Первоначальная сумма составляет 2 173 913 руб., дисконт равен 326 087 руб.
Задание 3.3.
Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 2 500 000 руб. Банк приобрёл этот вексель с дисконтом. Банк учёл вексель по учётной ставке 0.3% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб.
Тдн = 180
i = 0.3%
Найти:
P, D - ?
———————————————
Рассчитываем по формулам D = S • i EMBED Equation.3 , P = S – D
D = 2 500 000 * 0.3 EMBED Equation.3 = 2 500 000 * 0.15 = 375 000 руб.
P = 2 500 000 – 375 000 = 2 125 000 руб.
Ответ:
Полученная предприятием сумма составляет 2 125 000 руб., дисконт равен 375 000 руб.
Задание 3.4.
В кредитном договоре на сумму 2 500 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 0,3 % годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб.
Тлет = 4 года
i = 0.3%
Найти:
Наращенная сумма - ?
———————————————
Рассчитываем по формуле P=S • (1 + i)Тлет
P=2 500 000 * (1 + 0.3)4 = 2 500 000 * 1.34 = 2 500 000 * 2.8561 = 7 140 250 руб.
Ответ:
Наращенная сумма составляет 7 140 250 руб.
Задание 3.5.
Ссуда, размером 2 500 000 руб. предоставлена на 4 лет. Проценты сложные, ставка – 0.3% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб.
Тлет = 4 года
i = 0.3%
m = 2 - число начислений процентов в году
Найти:
Наращенная сумма - ?
———————————————
Рассчитываем по формуле P=S • (1 + EMBED Equation.3 )Tлет •m
P=2 500 000 * (1 + EMBED Equation.3 )4 • 2 = 2 500 000 * 1.58 = 2 500 000 * 3,059 = 7 647 500 руб.
Ответ:
Наращенная сумма составляет 7 647 500 руб.
Задание 3.6.
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в году, исходя из номинальной ставки 0.3 % годовых.
Решение:
Дано:
m = 2
i = 0.3%
Найти:
iэф - ?
———————————————
Рассчитываем по формуле iэф = (1 + EMBED Equation.3 )m – 1
iэф = (1 + EMBED Equation.3 )2 – 1 = 1.152 – 1 = 1.3225 – 1 = 0.3225 = 32.25%
Ответ:
Эффективная ставка процента составляет 32.25%.
Задание 3.7.
Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 0.3% годовых.
Решение:
Дано:
m = 2
i = 0.3%
Найти:
iном - ?
———————————————
Рассчитываем по формуле iном =m* [(1 + iэф) EMBED Equation.3 - 1]
iном = 2*[(1 + 0,3) EMBED Equation.3 - 1] = 2*( EMBED Equation.3 - 1)= 2*(1,14017 – 1)= 2*0.14017=
= 0.28034 = 28.03%
Ответ:
Номинальная ставка составляет 28,03%
Задание 3.8.
Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 2 500 000. Определить её современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 0.3 % годовых.
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб.
Тлет = 4 года
i = 0.3%
Найти:
P - ?
———————————————
Рассчитываем по формуле P = EMBED Equation.3
P = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 875 319.49 руб.
Ответ:
Современная стоимость составляет 875 319.49 руб.
Задание 3.9.
Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 2 500 000 руб. Банк учёл вексель по сложной учётной ставке 0.3 % годовых. Определить дисконт.
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб.
Тлет = 4 года
i = 0.3%
Найти:
D - ?
———————————————
Рассчитываем по формулам P = Sисх • (1 – i)Тлет, D = S – P
P = 2 500 000 * (1 – 0.3)4 = 2 500 000 * 0.74 = 0.2401 * 2 500 000 = 600 250 руб.
D = 2 500 000 – 600 250 = 1 899 750 руб.
Ответ:
Дисконт составляет 1 899 750 руб.
Задание 3.10.
В течение 4 лет на расчётный счёт в конце каждого года поступает по 2 500 000 руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 0.3 %. Определить сумму на расчётном счёте к концу указанного срока.
Решение:
Дано:
S = 2 500 000 руб.
Тлет = 4 года
i = 0.3%
m = 2
Найти:
Сумма на расчётном счёте - ?
———————————————
Рассчитываем по формуле
Р = S * ((1 + i эф)n – 1)/ i эф
Р = S * ((1 + i эф)n – 1)/ i эф= 2 500 000 * (1 + 0.32)4– 1)/ 0.32= 15 905 920 руб.
Ответ:
Сумма на расчётном счёте составляет 15 905 920 руб.
