Задача 1.
EMBED Equation.3 1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.
Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного наименования должно быть не более 5000 штук.
По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1$; «Дикси – В» - 0,9$.
Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение
Пусть X1 – кол-во акций «Дикси-Е»,
X2 – кол-во акций «Дикси-В».
Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:
EMBED Equation.3

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:
EMBED Equation.3
Ограничения по необходимому максимуму кол-ва акций:
EMBED Equation.3
Для получения решения графическим методом строим прямые:

8000

7000

6000

5000

4000
3000
2000
1000

О
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решением является замкнутый многоугольник ОАВС любая точка этого многоугольника внутри и на границе является решением или рекомендацией допустимой задачи.
Чтобы из бесконечности множества возможных рекомендаций найти ту или те которые достаточны для функции цели max значение.
Надо найти расположение всех точек в которых функция цели принимает одно какое-нибудь определенное значение, т.е. строим линию равных значений (линия уровня) EMBED Equation.3 , все линии уровня параллельны между собой поэтому проведем еще одну параллельную EMBED Equation.3 через точку (0,0).
EMBED Equation.3
Построим векто-градиент EMBED Equation.3 перпендикулярный линии уровня EMBED Equation.3 , и двигаться в направлении вектора-градиента до крайней точки через которую он «покидает» многоугольник системы ограничений.
EMBED Equation.3
Точка С (3500;2500)
EMBED Equation.3
Если решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.
Ответ: максимальная прибыль в следующем году: 6100$
При покупке акций Дикси-Е (Х1)=3500 (шт.), Дикси-В (Х2)=2500 (шт.).
Задача 2
2.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
- оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.
Решение
1) Пусть необходимо изготовить х1 единиц продукции A, х2 единиц продукции Б и х3 единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:
Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:

В результате будет получена следующая таблица:
Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В.
2) Строим двойственную задачу в виде:
EMBED Equation.3
Запишем двойственную задачу:
EMBED Equation.3
Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:
EMBED Equation.3
Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у3 = 0
Так как х2 ? 0 и х3 ? 0, то получаем систему уравнений:
EMBED Equation.3
Решение системы: y1=2/9, y2=5/3, y3=0.
EMBED Equation.3
3) В прямой задаче Х1=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.
В двойственной задаче у3=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.
4) а) Наиболее дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у2 = 5/3) является наибольшей.
б) При увеличении запасов сырья I вида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит:
2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед.
И она будет равна: 400-5 = 395 ден.ед.
Определим изменение плана выпуска аз системы уравнений:
EMBED Equation.3
То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:
X1=0 X2=11 X3=20 max f(x) = 395 (ден.ед)
в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.
Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:
EMBED Equation.3
Так как затраты на производство изделия меньше, чем его стоимость (? = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль.
Ответ: EMBED Equation.3 =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно.
Задача 4
Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Y(t)=a0 +a1 t, параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Построить адаптивную модель Брауна Y(t)=a0 +a1 k с параметром сглаживания ?=0,4 и ?=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания ?.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение
1) Методом Ирвина проверим анамальность ряда, где ? должна быть ?1,6 для нормального ряда.
EMBED Equation.3
где среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:
EMBED Equation.3
Построим следующий ряд:

y(t)2=B2^2
?(y) =D3/$B$13
?y=((9*E11-B11^2)/72)^0,5
Анамальных наблюдений во временном ряду нет.
2) Построим линейную модель вида Yр(t) = a0 + a1t
Параметры а0 и а1 можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:
EMBED Equation.3
А также с использованием настройки MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Затем используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных»

Средствами MS Excel получена следующая линейная модель: Yp(t) = 1,85 t + 10,30
Построим график эмпирического и смоделированного рядов:


3) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза:
EMBED Equation.3
используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:
EMBED Equation.3
а) Примем а = 0,4, тогда EMBED Equation.3 В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0 = 11,6; а1 = 1,4.
Расчет проведем с помощью MS Excel в результате получим следующую таблицу:
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:

EMBED Equation.3
б) Примем а = 0,7, тогда EMBED Equation.3 . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0 = 11,6; а1 = 1,4. Получим следующую таблицу:
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:

EMBED Equation.3
Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром а =0,4.
4) Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

Et=B2-G2
Е(т)^2=H2^2
E((t)-E(t-1))^2=(H3-H2)^2
E(t)-E(t-1) =H3-H2
мод Е(т) =ABS(H2)
Е(т)/у=L2/B2
Так как сумма Ет =0.004 = 0 то гипотеза Но:М(е)=0 подтверждается.
Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:
EMBED Equation.3
Так как для данной модели р = 6 > 2, то условие выполнено.
Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d- статистику) по формулам:
EMBED Equation.3
d=2,03383658
d'=4–2,03383658=1,96616342
Критические значения статистики: d1kp=1,08 и d2kp=1,36;
d и d'>1,36 поэтому уровни остатков не зависимы
Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:
EMBED Equation.3
Se=((9*(I11-H11^2)/72)^0,5)=1,2685
EMBED Equation.3 =(1,294-(-2,556))/1,2685=3,04
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2,7;3,7), т.е. 3,04 EMBED Equation.3 (2,7;3,7), значит модель адекватна.
5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:
EMBED Equation.3
6) Строим прогноз по построенным моделям:
точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста -экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:
EMBED Equation.3
Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:
Yn+1=10,30+1,85(9+1)=28,806
Yn+2=10,30+1,85(9+2)= 30,656
Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7
Доверительный интервал:
Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ? = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119

EMBED Equation.3
7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу: