СОДЕРЖАНИЕ Задача 1…………………………………………………………………….............3 Задача 2…………………………………………………………………………...13 Задача 3.…………………………………………………………………………..19 Список литературы………………………………………………………………22 Задание 1. Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года). Требуется: 1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3. 2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. 3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: - случайности остаточной компоненты по критерию пиков; - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32; - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. 4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные. Решение. Исходные данные: Таблица 1 Цена акции за 16 кварталов (4 года) t 1 2 3 4 5 6 7 8
Y(t) 35 42 52 34 37 48 59 36
t 9 10 11 12 13 14 15 16
Y(t) 41 52 62 38 46 56 67 41
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид: Yp(t+k) = [ a(t) + k*b(t) ] * F(t+k-L) (1) где k – период упреждения, Yp(t)- расчетное значение экономического показателя для t-го периода; a(t) , b(t) и F(t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t; F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель. L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных L=12). Таким образом, если по формуле 3.1 рассчитывается значение экономического показателя, например, за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года. Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул: a(t) =?1* Y(t)/F(t-L) + (1 - ?1) * [ a(t-1)+b(t-1) ] (2) b(t) =?3* [ a(t) – a(t-1) ] + (1 - ?3) * b(t-1) (3) F(t)=?2*Y(t)/a(t)+(1-?2)*F(t-L) (4) Параметры сглаживания (1 , (2 и (3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (то есть чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели). Из формул 1 –4 видно, что для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (то есть для t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид: Yp(t) = a(0) + b(0) * t. Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по следующим формулам:
a(0) = Ycp - b(0)*t Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (то есть к данным за первые 2 года), находим значения a(0)=39,21, b(0)=0,87 С учетом полученных коэффициентов линейное уравнение имеет вид: Yp(t) = 39,21 + 0.87 * t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (таблица 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности 1–4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса. Таблица 3 Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t) t 1 2 3 4 5 6 7 8
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) первого квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1) и такое же отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t=5) Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=[35/40,08+37/43,56]/2= =[0,8733+0,8494]/2=0,8614 Аналогично находим оценки коэффициенты сезонности для второго, третьего и четвертого кварталов: F(-2) = [ Y(2)/Yp(2) + Y(6)/Yp(6) ] / 2 = 1,0774 F(-1) = [ Y(3)/Yp(3) + Y(7)/Yp(7) ] / 2 = 1,2729 F(0) = [ Y(4)/Yp(4) + Y(8)/Yp(8) ] / 2 = 0,7881 Oценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-3), F(-3) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул (1-4). Путем перебора возможных значений параметров сглаживания, было установлено, что лучшими являются (1 = 0,3; (2 = 0,6; (3 = 0,3. Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1. Из уравнения 1, полагая t=0, k=1, находим Yp(1): Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3) =[ 39,21+ 1* 0,87 ] * 0,8614 = 34,48 Из уравнений 2-4, полагая t=1, находим: a(1)=?1*Y(1)/F(-3)+(1-?1)*[a(0)+b(0)]=0.3*35/0,8614+(1-0.3)*[39,22+0,87 ]=40,27 b(1)=?3*[a(1)–a(0)]+(1-?3)*b(0)=0.3*[40,27-39,22]+(1-0.3)*0,87=0,92 F(1)=?2*Y(1)/a(1)+(1-?2)*F(-3)=0.6* 35/40,27+(1-0.6)* 0,86=0,87 Аналогично рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2 Yp(2)=[ a(1) + 1 * b(1) ]*Fo(-2)=[ 40,27+1*0,92 ] * 1,08 =44,49 a(2)=?1*Y(2)/F(-2)+(1-?1)*[a(1)+b(1)]=0.3*44/1,08+0.7*[40,27+0,92]=41,06 b(2)=?3*[a(2)–a(1)]+(1-?3)*b(1)=0.3*[ 41,06-40,27]+0.7* 0,92=0,88 F(2)=?2*Y(2)/a(2)+(1-?2)*Fo(-2)=0.6* 44/41,06+0.4* 1,08=1,07 для t=3 Yp(3)=[ a(2)+1 * b(2)]*Fo(-1)=[41,06+1*0,88 ]*1,27=53,26 a(3)=?1*Y(3)/F(-1)+(1-?1)*[a(2)+b(2)]=0.3*52/1,27+0.7*[41,06+0,88]=41,64 b(3)=?3*[a(3)–a(2)]+(1-?3)*b(2)=0.3*[ 41,64-41,06]+0.7* 0,88=0,79 F(3)=?2*Y(3)/a(3)+(1-?2)*F(-1)=0.6*52/41,64+(1-0.6)*1,27=1,26 для t=4 Yp(4)=[ a(3)+1*b(3)]*F(0)=[41,64+1*0,79 ]*0,79=33,52 a(4)=?1*Y(4)/F(0)+(1-?1)*[a(3)+b(3)]=0.3*34/0,79+0.7*[41,64+0,79]=42,61 b(4)=?3*[a(4)–a(3)]+(1-?3)*b(3)=0.3*[42,61-41,64]+0.7* 0,79=0,84 F(4)=?2*Y(4)/a(4)+(1-?2)*F(0)=0.6* 34/42,61+0.4*0,79=0,79 для t=5 Yp(5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=[42,61+ 1*0,84]*0.87=37.80 a(5)=?1*Y(5)/F(1)+(1-?1)*[a(4)+b(4)]=0.3*37/0.87+0.7*[42.61+0.84]=43.17 b(5)=?3*[a(5)–a(4)]+(1-?3)*b(4)=0.3*[ 43.17-42.61]+0.7* 0.84=0.76 F(5)=?2*Y(5)/a(5)+(1-?2)*F(1)=0.6*37/43,17+(1-0.6)*0,87=0,86 для t=6 Yp(6)=[a(5)+1*b(5)]*F(2)=[43.17+ 1*0.76]*1.07=47,01 a(6)=?1*Y(6)/F(2)+(1-?1)*[a(5)+b(5)]=0.3*48/1.07+0.7*[43.17+0.76]=44,21 b(6)=?3*[a(6)–a(5)]+(1-?3)*b(5)=0.3*[ 44.21-43.17]+0.7* 0.76=0,84 F(6)=?2*Y(6)/a(6)+(1-?2)*F(2)=0.6*48/44.21+(1-0.6)*1.07=1.08 для t=7 Yp(7)=[a(6)+1*b(6)]*F(3)=[44.21+ 1*0.84]*1.26=56,76 a(7)=?1*Y(7)/F(3)+(1-?1)*[a(6)+b(6)]=0.3*59/1.26+0.7*[44.21+0.84]=45.58 b(7)=?3*[a(7)–a(6)]+(1-?3)*b(6)=0.3*[ 45.58-44.21]+0.7* 0.84=0.99 F(7)=?2*Y(7)/a(7)+(1-?2)*F(3)=0.6*59/45.58+(1-0.6)*1.26=1.28 для t=8 Yp(8)=[a(7)+1*b(7)]*F(4)=[45.58+ 1*0.99]*0.79=36,79 a(8)=?1*Y(8)/F(4)+(1-?1)*[a(7)+b(7)]=0.3*36/0.79+0.7*[45.58+0.99]=46,27 b(8)=?3*[a(8)–a(7)]+(1-?3)*b(7)=0.3*[ 46,27-45.58]+0.7* 0.99=0.89 F(8)=?2*Y(8)/a(8)+(1-?2)*F(4)=0.6*36/46,27+(1-0.6)*0,79=0.78 Таблица 4 Модель Хольта-Уинтерса t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) Абсол.погр. E(t) Относит.погр., %
-3
-2
-1
0
39,21 0,87
1 35 40,27 0,92 0,87 34,48 0,52 0,015
2 44 41,06 0,88 1,07 44,49 -0,49 0,011
3 52 41,64 0,79 1,26 53,26 -1,26 0,024
4 34 42,61 0,84 0,79 33,52 0,48 0,014
5 37 43,17 0,76 0,86 37,8 -0,8 0,022
6 48 44,21 0,84 1,08 47,01 0,99 0,021
7 59 45,58 0,99 1,28 56,76 2,24 0,038
8 36 46,27 0,89 0,78 36,79 -0,79 0,022
9 41 47,31 0,94 0,86 40,56 0,44 0,011
10 52 48,22 0,93 1,08 52,11 -0,11 0,002
11 62 48,94 0,87 1,27 62,91 -0,91 0,015
12 38 49,48 0,77 0,77 38,85 -0,85 0,022
13 46 51,22 1,06 0,88 43,22 2,78 0,060
14 56 52,15 1,02 1,08 56,46 -0,46 0,008
15 67 53,05 0,98 1,27 67,53 -0,53 0,008
16 41 53,79 0,91 0,77 41,6 -0,6 0,015
Для того, чтобы модель была качественной, уровни о
