1) Экономико-математическая модель (ЭММ). Понятие, пример, общая классификация ЭММ. Основным методом исследования систем является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта а материальной или идеальной форме (т.е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение ему подобного и более доступного объекта, его модели. Этапы экономико-математического моделирования:- - постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. -- построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей-- математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решения. -- подготовка исходной информации. в процессе подготовки информации используются методы теории вероятности, теоретической и математической статистики для организации выборочных исследований, оценки достоверности данных. -- численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ.-- анализ численных результатов и из применение. На этом этапе решается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования. =По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические используемые при изучении общих свойств и закономерностей эк процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа.
2) Общая задача линейного программирования, основные элементы и понятия. Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных неравенств или равенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего решения. В общем виде ЗЛП ставится следующим образом: Найти вектор Х = (х1, х2, …, хn), максимизирующий линейную форму, и удовлетворяющий условиям , , j=1…n
Линейная функция называется целевой функцией задачи, условия называются функциональными, а - прямыми ограничениями задачи. Вектор = (х1, х2,…, хn), компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, называется допустимым решением задачи ЗЛП. Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования. Допустимое решение максимизирующее целевую функцию , называется оптимальным планом задачи , где - оптимальное решение ЗЛП.
4) Графический метод решения задачи линейного программирования. Если в задаче линейного программирования ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, то задача может быть решена графически .. Стандартная форма ЛП: , , i=1,2,…m, , j=1,2,…n. этапы:1.строится многоугольная ОДР. 2.строится вектор градиент целевой функции (ЦФ) в какой-нибудь точке х0, принадлежащей ОДР
3.линия уровня - прямая, перпендикулярная вектору градиенту, передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации до тех пор, пока не покинет предела ОДР. Предельная точка или точки области при этом движении и является точкой максимума .. 4.для нахождения координат точки максимума достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение , найденное в получаемой точке, является максимальным. При минимизации функции линия уровня перемещается в направлении противоположному вектору градиенту. Если прямая, соответствующая линия уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимум или максимум функции не существует.
3) Общая запись оптимизационной ЭММ (задача оптимального программирования). Основные элементы и понятия. Оптимизационные модели отражают в матем форме смысл экономической задачи, и отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности.=В общем виде математическая постановка задачи матем программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f (х1, х2, ..., хn) при условиях gi(х1, х2, ..., хn) ( bi; (i =1,2,…m), где f и gi; – заданные функции, а bi – некоторые действительные числа. =Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции f и gi линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.
В общем виде задача линейного программирования (ЗЛП) ставится так:
Найти вектор , максимизирующий линейную форму
(1)и удовле-щий условиям
(3)Линейная (2)
функция называется целевой функцией задачи . Условия (2) называются функциональными, а (3) - прямыми ограничениями задачи.
Вектор , компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем называть планом, или допустимым решением ЗЛП. Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию f(x), называется оптимальным планом задачи
где - оптимальное решение ЗЛП. =Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: max(min) максимизировать или минимиз-ать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математич запись критерия оптимальности -ЦФ. Max(min) f(x)=f(x1,x2,…,xn),x є D.
Обычно, приведенную модель записывают в виде:
Max(min) f(x1,x2,…,xn) (1) - ЦФ
g1(x1,x2,…xn) {? , = , ? } b1
g2(x1,x2,…xn) {? , = , ? } b2 - (2)-функциональные
gn(x1,x2,…xn) {? , = , ? } bn
xi ? 0, i=1,¯ n - (3 )прямые ограничения
5) Особые случаи решения ЗЛП графическим методом.
Если линия уровня параллельна какому-либо функциональному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками , и , соответственно любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП. – Если область доп решений является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении оптимизации целевой функции, то целевая функция будет неограниченной и ЗЛП не будет иметь решений. Также ЗЛП не будет иметь решений в случае, когда ОДР есть пустое множество, т.е. система ограничений ЗЛП содержит противоречивые неравенства, и на координатной плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей этим ограничениям. Например#1 max (3x1+5x2) ограничения: x1+x2 ? 2 4x1+2x2 ? 2 при x1,2 ? 0
Задача неразрешима, вследствии противоречивости ограничений
#2 max (3x1+2x2) x1-x2 ? 1 2x1+x2 ? 1 при x1,2 ? 0
Задача неразрешима вследствие неограниченности ЦФ на ОДР. #3 Случай не единственности решения max (8x1+10x2) 5x1+x2 ? 15 4x1+5x2 ? 40 при x2 ? 3 x1 ? 0 Линия уровня 8x1+10x2 =a параллельна одной из линий по границе ОДР. Это значит, что задача имеет бесконечное множество оптимальных решений (его задают координаты точек отрезка ВС).
6) Каноническая форма записи ЗЛП. Способы приведения ЗЛП к кан. виду Выбор конкретной вычислительной процедуры осуществляется после приведения исходной задачи к каноническому виду задачи линейного программирования. Под канонической формой ЗЛП понимают задачу сформулированную на максимум, все ограничения которой представлены уравнениями и все переменные не отрицательные. Для приведения задачи к КЗЛП в ограничения представленные неравенствами вводят дополнительные переменные со знаком +, если ограничение имеет вид неравенства <=, и со знаком - если ограничени