Задача 1.3. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость? Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему? Задача 2.3. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице 1. Тип сырья Нормы расхода сырья на одно изделие Запасы сырья
А Б В Г
І ІІ ІІІ
2 1 2
1 2 4
3 4 1
2 8 1
200 160 170
Цена изделия
5
7
3
6
Таблица 1 Требуется: Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья І и ІІ видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья ІІІ вида; Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья. Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий. Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y. Требуется: 1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат). 2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга. В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 3 выберите числовые значения для таблицы 4. Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице Номер варианта
Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 3 7 10 11 15 17 21 25 23
Требуется: 1) Проверить наличие аномальных наблюдений. 2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7). 4) Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания (= 0,4 и (= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания ?. 5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7). 6) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. 7) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%). 8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически. РЕШЕНИЕ Задача 1.3. Составим экономико-математическую модель. І набор – обычный ІІ набор – улучшенный Таблица 3 Удобрения Необходимый min для 1 газона Число кг в 1 наборе
І ІІ
Азотные 10 3 2
Фосфорные 20 4 6
Калийные 7 1 3
Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. Ед. Обозначим через X и Y количество обычных и улучшенных наборов удобрений, соответственно. Составим целевую функцию и систему ограничений. _ F( x) = 3x + 4y > min Система ограничений: 3x + 2y ? 10; (1) 4x + 6y ? 20; (2) x + 3y ? 7; (3) x, y ? 0; По ограничениям строим область всех допустимых решений. А) Определим множество решений 1-го неравенства. Построим линию по точкам: (0;5) и (2;2). Т. К. 3 * 0 + 2 * 0 = 0 < 10 , то выбираем верхнюю полуплоскость. Б) Определим множество решений 2-го неравенства. Построим линию по точкам: (5;0) и (2;2). Т. К. 4 * 0 + 6 * 0 = 0 < 20 , то выбираем верхнюю полуплоскость. В) Определим множество решений 3-го неравенства. Построим линию по точкам: (7;0) и (1;2). Т. К. 1* 0 + 3 * 0 = 0 < 7, то выбираем верхнюю полуплоскость. Пересечением всех плоскостей является неограниченная область ABCDEF (рис.1).
Рис.1 4. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину ?(3;4) с началом координат. Построим линию уровня 3x +4 y =0 по точкам: (0;0) и (4;-3). Она перпендикулярна вектору- градиенту. При минимизации целевой функции необходимо перемещать линию уровня в направлении, противоположном вектору-градиенту. Точкой максимума при таком движении линии уровня будет точка С (2;2), а минимальное значение функции Fmin = F(2;2) =3 * 2 + 4 * 2 = 14 ден. ед. Ответ: 2 обычных и 2 улучшенных набора удобрений для газонов нужно купить, чтобы минимизировать стоимость. Построенная область допустимых решений не ограничена сверху, следовательно, если задачу решать на max, то f(max)= ?, т.е. не имеет конечного оптимума, т.к. область допустимых значений не ограничена сверху. Задача 2.3. Сформулируем прямую оптимизационную задачу: _ F(x) = 5x1 + 7x2 + 3x3 + 6x4 > max Система ограничений: 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ? 200, x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 ? 160, 2x1 + 4x2 + x3 + x4 ? 170, x1, 2, 3, 4 ? 0 Воспользуемся командой Поиск решения (в меню Сервис). Заполним окно Поиск решения, как на рис. 2. В окне Поиск решения нажать на кнопку выполнить. Через непродолжительное время появится диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками В2:Е2 для значений Хj и ячейка G2 с максимальным значением целевой функции (рис. 3).
Рис. 2
Рис.3 Оптимальное решение задачи: x1 = 80; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 10; Fmax = 5 * 80 + 7 * 0 + 3 * 0 + 6 * 10 =460 ден. ед. По оптимальному плану следует производить изделия типа А и Г. Изделия типа Б и В убыточны, затраты на ресурсы превышают цену изготовления из них изделий. Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (рис. 4): Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
