Контрольная работа №2
Задание №1
Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования представлены в таблице:
Найти: а) границы, в которых с вероятность 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена;
б) вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов за тренировку, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине);
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
В крайних интервалах примем ширину интервалов равной 100, как и у внутренних интервалов. Обозначим признак «число спортсменов» через Х. За значения признака примем середины интервалов, значения признака приведены в третьей строке. Объем вариационного ряда равен n=200, и полный объем данных N=4000.
Вычислим выборочную среднюю и исправленную выборочную дисперсию для распределения величины Х.
EMBED Equation.3
Найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов.
Так как выборка бесповторная, то среднее квадратическое отклонение генеральной средней вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3
Получим EMBED Equation.3 . Отсюда EMBED Equation.3
И получим неравенство для среднего числа патронов
420,52 EMBED Equation.3 M(X) EMBED Equation.3 455.48
2) Выборочная доля спортсменов, у которых число патронов более 500 по таблице равна (31+15+8)/200=0.27. Найдем вероятность того, что доля таких спортсменов отличается не более чем на 5% (0,05).
EMBED Equation.3
Тогда t=1,61
По таблице функции Лапласа находим , что при t=1,61 P=0,8923.
Таким образом, вероятность равна 989,23%.
Найдем число рабочих, которых следует выбрать, чтобы вероятность выполнения условия: EMBED Equation.3 станет равной 0,9876.
При бесповторной выборке для определения необходимого объема выборки, при которой с вероятностью Р=0,9876 можно утверждать, что средняя отличается от математического ожидания по абсолютной величине меньше чем на EMBED Equation.3 =17,48 используется формула: EMBED Equation.3
По таблице функции Лапласа находим, что при Р =0,9876 t=2,5 и, следовательно вычисляем необходимый объем выборки по приведенной формуле: n EMBED Equation.3 341.
Задание №2
По данным задачи 1, используя критерий EMBED Equation.3 - Пирсона, при уровне значимости EMBED Equation.3 =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х –число патронов – распределена нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Критерий Пирсона есть критерий проверки гипотезы о предлагаемом законе неизвестного распределения. В последующей таблице приводятся эмпирические частоты, рассчитываются теоретические вероятности, исходя из предположения о нормальности распределения с параметрами, рассчитанными в задаче 1. EMBED Equation.3
В третьем столбце приводятся теоретические частоты, для чего вероятность попадания в данный интервал для величин, имеющих нормальное распределение, умножаются на количество данных. В последних столбцах рассчитаны вспомогательные величины.
Для расчета вероятностей используем таблицы функции Лапласа.
Например,
EMBED Equation.3
Вычисляем величину
EMBED Equation.3
В рассматриваемом случае статистика
EMBED Equation.3 =9,81.
Так как число интервалов равно 7, то число степеней свободы в данном случае равно 7-2-1=4. Соответствующее критическое значение статистики на уровне значимости 0,05 равно 9,49. Так как EMBED Equation.3 <9,49, то гипотеза о нормальности данного распределения не отвергается. Таким образом, случайная величина – число спортсменов может быть распределена по нормальному закону.
Для наглядности построим гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Так как длинна интервала равна 100, эмпирические частоты умножаем на 100, график нормальной кривой строим по точкам.
Задание №3
В таблице приведено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х(%) и стоимости Y(тыс.руб.):
Необходимо:
вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;
предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество примесей в драгоценном изделии, если его стоимость составляет 25 тыс. руб.
Решение:
Составим таблицу для расчета вспомогательных величин, через которое выражается средние и дисперсии случайных величин Х и Y.
Вычислим групповые средние.
В 8 и 9 колонках приведены следующие величины:
EMBED Equation.3
В 10 и 11 строках приведены следующие величины:
EMBED Equation.3
Для средних величин получаем значения по формулам:
EMBED Equation.3 =54,05
EMBED Equation.3 =21,42
Выборочная дисперсия переменной Х вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 =184,6. Выборочная дисперсия переменнойY вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 =62,46. В ячейке (11 строка, 9 колонка) вычислено значение EMBED Equation.3 =1077,90.
Выборочный корреляционный момент вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 =-79,85.
Приведем всю построенную таблицу:
