Министерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова Государственный университет Молдовы Физический факультет Кафедра теоретической физики Курсовая Работа Тема: Электрон в слое. Руководитель работы: Климин С.Н. Работу выполнил студент 3-го курса: Радченко Андрей Кишинёв 1997 г.Микрочастица (электрон) в слое. Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений. Она состоит в следующем : Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
( ((2/(2m)((2/(x2 ( U0 , x < (a ( ( H = ( ((2/(2m0)((2/(x2 , (a < x < a ( ( ((2/(2m)((2/(x2 ( U0 , x > a Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ; m0 - эффективная масса электрона в области II. Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области : ( (2(I/(x2 ( 2m/(2((E ( U0)(I = 0 , x ( (a ( ( (2(II/(x2 ( 2m0/(2(E((I = 0 , (a ( x ( a ( ( (2(III/(x2 ( 2m/(2((E ( U0)((I = 0 , x ( a
Область I : Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу : (I(x) = A(exp(n(x) + B(exp((n(x). Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит, (I(x) = A(exp(n(x). Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется : (II(x) = C(exp(i(k(x) + D(exp((i(k(x). Функция состояния для третьей области выглядит так : (III(x) = F(exp((n(x). Где k = (2m0(E/(2)1/2 n = (2m((U0(E)/(2)1/2. Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем : Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям. В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них. Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии. Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций : (I(x=(a) = (II(x=(a) (II(x=a) = (III(x=a) (I((x=(a)/m = (II((x=(a)/m0 (II((x=a)/m0 = (III((x=a)/m А в наших определениях этих функций это выглядит так : A(exp((n(a) = C(exp((i(k(a) + D(exp(i(k(a) m(1(A( n(exp((n(a) = i(k(/m0((C(exp((i(k(a) ( D(exp(i(k(a)) C(exp(i(k(a) + D(exp((i(k(a) = F(exp((n(a) i(k(/m0((C(exp(i(k(a) ( D(exp((i(k(a)) = ( n/m(F(exp((n(a). Теперь составим определитель : |exp((n(a) (exp((i(k(a) (exp(i(k(a) 0 | |m(1(n(exp((n(a) (1/m0(i(k(exp((i(k(a) 1/m0(i(k(exp(i(k(a) 0 | |0 exp(i(k(a) exp((i(k(a) (exp((n(a) | |0 1/m0(i(k(exp(i(k(a) (1/m0(i(k(exp((i(k(a) 1/m(n(exp((n(a)| Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии: ((n/m)2 ( (k/m0)2)(Sin(2(k(a) + 2(k(n/(m(m0)(Cos(2(k(a) = 0. Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона. Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки. C = F(exp((n(a)({exp(i(k(a) + exp((3(i(k(a) (( i(k/m0 ( n/m)/(n/m + i(k/m0)} D = C(exp((2(i(k(a)(( i(k/m0 ( n/m)/(n/m + i(k/m0) A = exp(n(a)((C(exp((i(k(a) + D(exp(i(k(a)) . Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения : A = RA(F C = RC(F D = RD(F. RA, RC, RD - известные постоянные. Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки. Действительно : (I(x) = F(RA(exp(n(x) (II(x) = F(( RC(exp(i(k(x) + RD(exp((i(k(x)). (III(x) = F(exp((n(x). I1 + I2 + I3 = 1 Где I1 = (F(2((RA(2(((exp(2(n(x)(dx = (F(2((RA(2((2(n)(1(exp(2(n(x) = = (F(2((RA(2((2(n)(1(exp((2(n(a) I2 = (F(2({ (((RC(2(dx + (((RD(2(dx + RC(RD*(((exp(2(i(k(x)(dx + + RC*(RD(((exp((2(i(k(x)(dx } = (F(2({ 2(a(((RC(2 + (RD(2) + ((exp(2(i(k(a) ( exp((2(i(k(a))(RC(RD*/(2(i(k) + + i(((exp((2(i(k(a) ( exp(2(i(k(a))(RC*(RD/(2(k) } I3 = (F(2(((exp((2(n(x)(dx = (F(2((2(n)(1(exp((2(n(a) (F(2 = { (RA(2((2(n)(1(exp((2(n(a) + 2(a(((RC(2 + (RD(2) + ((exp(2(i(k(a) ( exp((2(i(k(a))(RC(RD*/(2(i(k) + + i(((exp((2(i(k(a) ( exp(2(i(k(a))(RC*(RD/(2(k) + (2(n)(1(exp((2(n(a) }(1. Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек. Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто: U(x)=U(x+2a) (1) Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера. Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера: (2(/(x2 ( 2m/(2((E ( U0)( = 0 следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем. Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом: ( = exp(i 2ak) Тогда ((x+2ma) = ((x)((m , где m=0, (1, (2,... (2) Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси. Рассмотрим область I: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: (2(I/(x2 ( 2m2/(2((E ( U0)(I = 0 , 0 > x > (a его решение выглядит просто: (I(x) = A(exp(n(x) + B(exp((n(x). Где n = (2m2 (U0-E) /(2)1/2 Рассмотрим область II: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: (2(II/(x2 ( 2m1/(2(E (II = 0 , a ( x ( 0 его решение выглядит просто: (II(x) = C(exp(i(p(x) + D(exp((i(p(x). Где p = (2m1E/(2)1/2 Рассмотрим область III: (2(III/(x2 ( 2m2/(2((E ( U0)(III = 0 , 2a > x > a его решение выглядит просто: (III(x) = ( (A(exp(n(x) + B(exp((n(x)). Запишем граничные условия: (I(x=0) = (II(x=0) (II(x=a) = (III(x=a) (I((x=0)/m = (II((x=0)/m0 (II((x=a)/m0 = (III((x=a)/m Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D: A+B=C+D C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a)) (A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1 (C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a)) Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель : |1 1 (1 (1 | |exp(i(k(2a(n(a) exp(i(k(2a(n(a) (exp(i(p(a) (exp((i(p(a) | |n/m2 (n/m2 (i(p/m1 i(p/m1 | |n/m2exp(i(k(2a(n(a) (n/m2(exp(i(k(2a(n(a) ( i(p/m1(exp(i(p(a) i(p/m1(exp((i(p(a) | и приравняем его к нулю. Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона. Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже. a=10; U=10; m1=4; m2=1
