ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента g. Элемент g называется образующим циклической группы G
Циклические группы могут быть как конечными, так и бесконечными
Примеры :
Группа Z целых чисел с операцией сложения
Группа   всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g=   -образующий
Пусть ( G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество     - циклическая группа. g - образующий элемент. Подгруппа называется циклической, порожденной элементом g , а ее порядок - порядком элемента g . По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение:
  действующее по формуле : , является гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение   сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть   стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g
Так как , то всякая циклическая группа является коммутативной, и мы будем использовать аддитивную запись, так что n- ая степень g будет выглядеть как ng и называться n- кратным элемента g , а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0
Применяя теорему о гомоморфизме, получаем важное свойство циклических групп : всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z
Если F произвольная   группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n -кратные элементов из F . Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку   n(x-y)=nx-ny
Теорема о структуре циклических групп. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ
Доказательство. Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H , где H - некоторая подгруппа Z . По предыдущей теореме H=nZ , где . Если n=0 , G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0 , Z разбивается на n смежных классов : nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n
Группу Z/nZ будем обозначать . В частности,
    - тривиальная группа
Элементами конечной группы   по определению являются смежные классы :
{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1} , которые обозначаются   и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n
 
Теорема о подгруппах группы Z. Если H - подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n
Доказательство : Если H -тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна . В этом случае в H содержатся ненулевые числа и   противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n . Тогда . Если   - любое число, то разделив m на n с остатком, получим : m = kn+r , причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0 . Поэтому H =nZ , что и требовалось
Замечание. Если k 0 - любое целое, то отображение   определенное формулой   является изоморфизмом и отображает подгруппу   на подгруппу   , а значит определяет изоморфизм
Теорема о подгруппах группы (n>0) . Если H подгруппа группы , то H =   причем n делится на m нацело. Порядок H равен   = d , и значит
Доказательство. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K = - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что   H = . При этом   и потому n=dm где d -   целое.   По теореме о гомоморфизме  
Из этих теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична
Основная теорема теории делимости. Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y , что   xn+ym=1
Доказательство. Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0 . Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n ) не делится на s нацело. Значит n=ks+r , где 0< r<s. В этом случае r=n-ks = n-k(xn+ym)= (1-kx)n+(-ky)m . Это противоречит выбору числа s и значит, s=1
Следствие. Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y , что xn+ym=(n,m)
Для каждого целого d , делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d
Для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m 0 , то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся   n и m . ( 0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых ( n,m)=1 называются взаимно простыми
Если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же ( n,m)>0, то числа   и     взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем : , откуда и следует сформулированный результат
Теорема о структуре групп простого порядка. Если порядок конечной группы G равен простому числу p , то  
Доказательство. Пусть   - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p , то он равен p и значит
Теорема о порядках элементов конечных циклических групп. Пусть p 0 любое целое. Вычет в группе   имеет порядок v=n/(n,p)
Доказательство. Пусть ( n,p)=d . Поскольку p/d - целое число, имеем : = = = , откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок   равен k , то k = , то есть kp делится на n . По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k<v=n/d , то 0<kd<n   не может делиться на n
Следствие. В группе   образующими элементами являются в точности те вычеты , для которых ( n,p)=1
Образующими элементами в Z являются , очевидно, только 1 и -1
Рассмотрим множество   тех вычетов   по модулю n , для которых ( m,n)=1 . Относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n . Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет   является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y , что xm+yn=1 . Переходя к вычетам, находим : = , откуда видно, что
Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы   имеют порядок 2 и потому она не является циклической
Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше
Смежные классы; разложение группы по подгруппе
Условимся о следующих обозначениях. Если A и B два подмножества группы G, то A*B обозначает множество всевозможных произведений элементов первого из них на элементы второго, а   - множество всех обратных элементов из A. В этих обозначениях, например, условие, при котором A является подгруппой G можно записать в виде:
Определение
Пусть x некоторый фиксированный элемент   группы G, а H - любая ее подгруппа. Множество   x*H называется левым, а H*x - правым смежным классом группы по подгруппе
Например, очевидно, что *H=H* =H, так что подгруппа Н сама является одним из смежных классов
Свойства смежных классов
Отображение , определенное формулой   является взаимно однозначным для всякого
Каждый элемент x входит в смежный класс x*H
Если y входит в смежный класс x*H , то y*H=x*H
Если y не входит в смежный класс x*H, то
(Свойства 1- 4 сформулированы для левых смежных классов, но аналогичными свойствами обладают и правые)
Доказательство
    сюръективно по определению смежного класса. Если,   то есть ,   то по закону сокращения , то есть   инъективно
Поскольку     входит в подгруппу H, x=x*    входит в смежный класс x*H
Пусть y=x*h и , то есть z=   Тогда z=(x*h)*   = x*(h* ) и значит входит в класс x*H. Таким образом, . Обратное включение вытекает из того, что   и значит входит в y*H
Докажем от противного. Пусть классы x*H и y*H пересекаются и элемент z входит в каждый из них,   так что . Тогда   что противоречит нашему предположению
Следствие
Если подгруппа H конечна, то все левые смежные классы содержат одинаковое число элементов, равное порядку этой подгруппы. (Следует из свойства 1.)
В качестве примера рассмотрим группу перестановок из 3 элементов. Составим для нее таблицу умножения. Эта группа состоит из 6 элементов
Клетка таблицы, стоящая в i-ой строке и в j- ом столбце содержит номер элемента, равного . Она имеет следующий вид:
Рассмотрим подмножество H в состоящее из элементов   и . (Будем писать: H={1,2}). Легко видеть, что H - подгруппа. (Заметим, что ). Пользуясь таблицей умножения находим левые смежные классы:
  , , . Таким образом, имеем 3 различных левых смежных класса {1,2}, {3,4}, {5,6}. Аналогично строятся правые смежные классы: {1,2}, {3,5}, {4,6}
Возьмем теперь   {1,4,5}. - подгруппа четных перестановок .   Для нее левые и правые смежные классы совпадают и состоят из элементов {1,4,5} и {2,3,6}
Определение
Индексом [G:H] подгруппы H в группе G называется количество различных левых смежных классов G по H (если оно конечно)
Теорема Лагранжа
Если G конечная группа и H ее подгруппа, то
ord(G)={G:H]*ord(H)
(Здесь ord( ) обозначает порядок группы)
Доказательство
Пусть   - полный пе