Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Дано: Для схемы: U0(t)= U0=const U0=5 В i0(t)=I0(1(t) I0=2 A Составить уравнения состояния для цепи при t(0. Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С1 и С4. Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа: (1) Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния: (2) Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad: Таким образом, уравнения состояния будут иметь вид: 1.2 Найти точные решения уравнений состояния. Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния: Общий вид точных решений уравнений состояния: Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом: Начальные условия (находятся из схемы): Для нахождения постоянных интегрирования A1, A2, A3, A4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации. При t=0: Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния: Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния: При t=0: Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их: Точные решения уравнений состояния: Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов. Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера: Подставляя выражения производных из уравнений состояния: h – шаг расчета =2*10-6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий. 1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ) e(A)t = a0 + a1(A) e(A)t= (X) = [e(A)t-1][A]-1[B][V] 1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния. Часть 2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Анализу подлежит следующая цепь: Параметры импульса: Um=10 В tu=6*10-5 c Форма импульса: 2.1 Определить функцию передачи: воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U0(s)=1/s. Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые: Решаем эту систему: Таким образом: Функция передачи: 2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.Полюсы: Нули: Плоскость комплексной частоты: 2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения. Импульсная характеристика: Выделим постоянную часть в HU(s): Числитель получившейся дроби: Упрощенное выражение HU(s): Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя: Коэффициенты разложения: Оригинал импульсной характеристики: Переходная характеристика: Этим же методом находим оригинал характеристики: 2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса. Изабражение по Лапласу фукции f(t): Входной импульс представляет собой функцию Поэтому изображение входного сигнала будет 2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя HU(s). Изображение выходного сигнала: Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя: Для части выражения при ,используя теорему о разложении: Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении: Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала: 2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы. Переходная h1(t) и импульсная h(t) характеристики. Входной и выходной сигналы.
Часть 3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии. 3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи HU(s). амплитудно-фазовая характеристика:
амплитудно-частотная характеристика: фазо-частотная характеристика: График АЧХ: График ФЧХ: 3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707. Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с-1. 3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1. Амплитудный спектр входного сигнала: Фазовый спектр входного сигнала: График амплитудного и фазового спектра входного сигнала: Ширина спектра с-1 . 3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*104 с-1, где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис. 3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала. Получаются по формулам:
3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина. Вещественная характеристика:
Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции. График вещественной характеристики: Тогда: График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2. Часть 4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии. Дано: T=18*10-5c. Um=10 В. tu=6*10-5c. форма сигнала u0(t): 4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры. Коэффициенты ряда Фурье для u0(t) найдём из следующего соотношения:
где (1 = 2(/Т , k=0, 1, 2, ... (1=3.491*104с. Значения Ak и (k приведены в табл. ,на рис. , построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u0(t). k Ak (k
0 0 0
1 2.067 0.524
2 3.308 -0.524
3 2.774 -1.571
4 2.363 -2.618
5 1.034 2.618
6 0 1.571
7 0.413 -2.618
8 0.301 2.618
9 0 1.571
Таким образом, в соответствии с шириной спектра .
4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3. 4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье. Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений k(1, k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда
k Ak (k
0 0 0
1 0.208 1.47
2 0.487 -0.026
3 0.436 -1.355
4 0.361 -2.576
5 0.15 2.554
6 0 1.443
7 0.054 -2.785
8 0.037 2.429
9 0 1.371
В итоге получим: 4.4 Построить напряжение на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.