Формулировка и доказательство теоремы Штольца Применение теоремы Штольца: ; нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты ; ;
Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца
Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда = , Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный) Допустим, что этот предел равен конечному числу : Тогда по любому заданному найдется такой номер N , что для n > N будет или Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y n вместе с номером n , положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N Напишем теперь тождество: , откуда Второе слагаемое справа при n > N становится < ; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет < , скажем, для n > N ’ . Если при этом взять N ’ > N , то для n > N ’ , очевидно, , что и доказывает наше утверждение
Примеры: Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n ) , следовательно, вместе с y n и x n , причем варианта x n возрастает с возрастанием номера n . В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению (ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что , что и требовалось доказать
При а > 1
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения: Если варианта a n имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта (“среднее арифметическое” первых n значений варианты а n ) Действительно, полагая в теореме Штольца X n = a 1 + a 2 +…+ a n , y n =n, Имеем : Например, если мы знаем, что , то и
Рассмотрим теперь варианту (считая k -натуральным) , которая представляет неопределённость вида Полагая в теореме Штольца x n =1 k +2 k +…+n k , y n =n k+1 , будем иметь Но ( n -1) k +1 = n k +1 -( k +1) n k +… , так что n k +1 -( n -1) k +1 =( k +1) n k +… и
Определим предел варианты , представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида : Полагая x n равным числителю этой дроби, а y n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим Но , а , так что, окончательно,
Пример 1 = = = = = = = = =
Пример 2 = = = = = = = = = = = =
Пример 3 = =
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций
Теорема. Пусть функция , причем, начиная с некоторой x k , g ( x k +1)> g ( x k ), т.е. функция возрастающая
Тогда , если только существует предел справа конечный или бесконечный Доказательство: Допустим, что этот предел равен конечному числу k Тогда, по определению предела или Значит, какой бы ни взять, все дроби , , …, лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g ( x n ) вместе с x ( n ), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при Напишем тождество(которое легко проверить): , Откуда Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему
Примеры:
Найти следующие пределы:
очевидна неопределенность = = =2
неопределенность = = = =0
неопределенность = = =
Литература :
“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва
