БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ). Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ). Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk. Таблица 1 № потребление итого на конечный валовый отрас. внутре продукт выпуск производ. ( уi ) ( хi ) № 1 2 … k … n потребление отрас. ( ??хik )?
1 х11 х12 … х1k … х1n ??х1k у1 х1
2 х21 х22 … х2k … х2n ??х2k у2 х2
( ( ( ( ( ( ( ( ( (
i хi1 xi2 ( xik ( xin ? xik yi xi ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( n xn1 xn2 ( xnk ( xnn ??xnk yn xn итого произв. затраты ??хi1 ??xi2 ( ? xik ( ? xin в k-ю отрасль
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами : х1 - ( х11 + х12 + ( + х1n ) = у1 х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 ( 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период. Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором : _ у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 ) а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей ( вектор-планом : _ x = ( x1 , x2 , … , xn ). ( 3 ) Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk. Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений : xik aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ). xk
Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что x’ik xik ––– = ––– = aik = const ( 4 ) x’k xk Исходя из этого предложения имеем xik = aikxk , ( 5 ) т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу a11 a12 … a1k … a1n a21 a22 … a2k … a2n A= …………………. ai1 ai2 … aik … ain an1 an2 … ank … ann которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной. Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1 Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель : x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1 x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 ) …………………………………… xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn , характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1 Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений: _ _ _ Е(х - А(х = У , или окончательно _ _ ( Е - А )(х = У , ( 6( ) где Е – единичная матрица n-го порядка и 1-a11 -a12 … -a1n E - A= -a21 1-a22 … -a2n ………………… -an1 -an2 … 1-ann
Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных. Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ). Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:
табл.2 № отрас Потребление Итого Конечный Валовый № затрат продукт выпуск отрас 1 2
0.2 0.4 1 100 160 260 240 500 0.55 0.1 2 275 40 315 85 400 Итого затрат 575 в k-ю 375 200 отрасль … 575 Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данны
