Курсовой проект. Тема: Вариант 10. СОДЕРЖАНИЕ: Введение Экономическая постановка задачи.. Математическая постановка задачи.. Выбор метода реализации модели. Обоснование выбора.. Схема алгоритма и его описание. Краткая характеристика ЭВМ и ее программного обеспечения. Обоснование выбора языка программирования. Решение задачи-теста для написания и отладки программы. Анализ полученных результатов. Инструкции пользователю и описание программы. Заключение. Литература. Приложение. 3 4 5 6 10 12 15 16 19 20 21 22 23
ВВЕДЕНИЕ Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система. Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы. Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования. Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. 2. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Цеху, располагающему тремя видами металлорежущего оборудования, планируется изготовить в течении определенного периода времени два изделия, причем первое изделие комплектуется на двух деталях А1 и А2, которые должны изготовляться в соответствии 2:1. Второе изделие также комплектуется на двух деталях А3 и А4, которые изготовляются соответственно в соотношении 4:1 Эффективные фонды времени работы оборудования и нормы штучно-калькуляционного времени, требуемые на изготовление каждой детали на соответствующем оборудовании, приведены в таблице 2.1: Таблица 2.1 Детали
Группы оборудования А1 А2 А3 А4 Эффективный фонд времени
Нормы трудоемкости
I 1.2 1.8 2.4 0 768
II 2.4 0 1.2 2.4 600
III 0 1.2 1.2 1.2 480
Определить производственную программу выпуска деталей А1, А2, А3, А4 при обеспечении заданной комплектности, а также максимально возможную загрузку наличных производственных мощностей. 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Общая модель: m(i=1,2..m) - группы оборудования на цехе. Ai - ресурсы по i-ой группе оборудования. n(j=1,2..n) - виды деталей. ai,j - нормы трудоемкости затраченных на i-м виде оборудования на изготовление единицы j-го вида продукции. Xj - выпуск продукции j-го вида в оптимальном плане. Kr - Соотношение деталей в изделии. Система ограничений: Ресурсные ограничения: n ??a i j * x j ? A i (i=1,2,..,m) j=1 Реальность плана выпуска: Xj ??0 Ограничение по комплектности: Xk Kl (k=1,2,…,l); (r=1,2,….,p) Xr Kp Целевой функционал: n Fmax = ??Xj j=1 3. ВЫБОР МЕТОДА РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА Симплекс метод - универсальный метод для решения линейной системы уравнений или неравенств и линейного функционала. Для привидения системы ограничений неравенств к каноническому виду, необходимо в системе ограничений выделить единичный базис. Ограничения вида “?”- ресурсные ограничения. Справа находится то что мы используем на производстве, слева - то что получаем. При таких ограничения вводят дополнительные переменные с коэффициентом “+1”, образующие единичный базис. В целевую функцию эти переменные войдут с коэффициентом “0”. Ограничения вида “=”. Часто бывает, что несмотря на то что ограничения имеют вид равенства, единичный базис не выделяется или трудно выделяется. В этом случае вводятся искусственные переменные для создания единичного базиса - Yi. В систему ограничений они входят с коэффициентом “1” , а в целевую функцию с коэффициентом “M”, стремящимся к бесконечности (при Fmin - “+M”, при Fmax - “-M”). Ограничения вида “?” - Плановые ограничения. Дополнительные переменные (X), несущие определенный экономический смысл - перерасход ресурсов или перевыполнение плана, перепроизводство, добавляются с коэффициентом “-1”, в целевую функцию - с коэффициентом “0”. А искусственные переменные (Y) как в предыдущем случае. Алгоритм симплекс метода. (первая симплекс таблица) Пусть система приведена к каноническому виду. X1+ q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1 X2+ q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1 X3+ q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1 ………………………………………………………………. Xm+ qm,m+1 Xm+1 + …. + qm,m+n Xm+n =hm В ней m базисных переменных, k свободных переменных. m+k=n - всего переменных. Fmin= C1X1+ C2X2+ C3X3+....+ CnXn Все hi должны быть больше либо равны нулю, где i=1,2...m. На первом шаге в качестве допустимого решения принимаем все Xj=0 (j=m+1,m+2,...,m+k). При этом все базисные переменные Xi=Hi. Для дальнейших рассуждений вычислений будем пользоваться первой симплекс таблицей (таблица 3.1). Таблица 3.1. Симплекс таблица. C Б H C1 C2 … Cm Cm+1 … Cm+k
Первый столбец- коэффициенты в целевой функции при базисных переменных. Второй столбец - базисные переменные. Третий столбец - свободные члены (hi?0). Самая верхняя строка - коэффициенты при целевой функции. Вторая верхняя строка - сами переменные, входящие в целевую функцию и в систему ограничений.
Основное поле симплекс метода - система коэффициентов из уравнения. Последняя строка - служит для того, чтобы ответить на вопрос: “оптимален план или нет”. Для первой итерации F0= ??ci*hi. ?????????????????m - оценки они рассчитываются по формуле: ??j = ? ciqij-cj. Индексная строка позволяет нам судить об оптимальности плана: При отыскании Fmin в индексной строке должны быть отрицательные и нулевые оценки. При отыскании Fmax в индексной строке должны быть нулевые и положительные оценки. Переход ко второй итерации: Для этого отыскиваем ключевой (главный) столбец и ключевую (главную) строку. Ключевым столбцом является тот в котором находится наибольший положительный элемент индексной строки при отыскании Fmin или наименьший отрицательный элемент при отыскании Fmax. Ключевой строкой называется та, в которой содержится наименьшее положительное частное от деления элементов столбца H на соответствующие элементы ключевого столбца. На пересечении строки и столбца находится разрешающий элемент. На этом этапе осуществляется к переходу к последующим итерациям. Переход к итерациям: Выводится базис ключевой строки, уступая место переменной из ключевого столбца со своим коэффициентом. Заполняется строка вновь введенного базиса путем деления соответствующих элементов выделенной строки предыдущей итерации на разрешающий элемент. Если в главной строке содержится нулевой элемент, то столбец, в котором находиться этот элемент переноситься в последующую итерацию без изменения. Если в главном столбце имеется нулевой элемент, то строка, в которой он находиться переноситься без изменения в последующую итерацию. Остальные элементы переносятся по формуле:
