Введение
В конце 70-х начале 80-х годов в мире произошёл информационный бум. С начала информацию передавали по проводным линиям связи (попросту говоря по средствам электрических импульсов). Но с передачей сигнала по проводам возникали множественные проблемы да и качество связи желала лучшего. Свет же позволил человеку повысить скорость передачи информации, да и влияний на него меньше. Человек научился использовать свет, направлять его куда это ему необходимо. Это происходит по средствам оптических волноводов, которые имеют неоднородный коэффициент преломления. За счёт этой неоднородности и происходит направление луча свет в нужное “русло”. В данной работе рассматривается принципы и законы, по которым распространяется свет в оптических волокнах, на примере планарного волновода.
Оптические волноводы - это диэлектрические структуры, по которым может распространяться электромагнитная энергия в видимой и инфракрасной областях спектра. Реальные волноводы, используемые в оптической связи, представляют собой гибкие волокна из прочных диэлектрических материалов. Поперечное сечение таких волоконных световодов имеет размеры, сравнимые с размерами человеческого волоса. Обычно состоит из трёх областей: центральная область - сердцевина - окружена оболочкой, которая, в свою очередь, окружена защитным покрытием. Показатель преломления сердцевины n может быть постоянным или изменяться по сечению (зависимо от профиля волновода), показатель преломления оболочки обычно постоянен по сечению. Два случая, соответствуют ступенчатому и градиентному профилям показателя преломления. Чтобы волновод имел направляющие свойства необходимо, чтобы показатель преломления сердцевины хотя бы в части сечения превосходил показатель преломления оболочки. В основном вся энергия (информация) передаётся по сердцевине и лишь её малая часть - по оболочке. Покрытие полностью оптически изолировано от сердцевины, поэтому мы пренебрежём её влиянием и при анализе предположим, что оболочка снаружи не ограничена.
Оптические волноводы можно условно разделить на две группы - многомодовые (с относительно большим поперечным размером сердцевины) и одномодовые (с относительно малым поперечным размером сердцевины). Для многомодовых волноводов справедливо условие , где ? - характерный размер сердцевины, например радиус сердцевины волоконного световода, ? - длина волны света в свободном пространстве, nc0 - максимальное значение показателя преломления сердцевины, а nc1 - показатель преломления оболочки.
Распространение электромагнитных волн по оптическим волноводам может быть описано строго с помощью уравнений Максвелла. Однако хорошо известно, что классическая геометрическая оптика даёт приближённое описание распространения света в среде, где показатель преломления слабо изменяется на расстояниях порядка длины волны света. Это условие обычно выполняется для многомодовых оптических волноводов, используемых в системах связи. Таким образом, наиболее прямой и наглядный способ описания распространения света в многомодовых волноводах - с помощью лучей, распространяющихся по сердцевине.
Краткий теоретический курс.
1. Планарные волноводы.
Типичные представители планарных волноводов состоят из световедущего слоя - сердцевины - толщиной 2?, располагающегося между двумя слоями оболочки. Как уже говорилось раньше, для простоты предлагаю, что слои оболочки имеют бесконечную толщину. Плоскости x=±? являются границами раздела сердцевина-оболочка. Так как волновод простирается неограниченно во всех направлениях, ортогональных к оси x, то структура является двумерной. Ось z расположена вдоль средней линии между границами разделов и является за чистую осью симметрии. Тогда показатель преломления n(x) в сердцевине может быть либо постоянным по сечению, либо изменяющимся в поперечном направлении. В оболочке, как правило, показатель преломления постоянен по сечению и равен nc1. При этом показатель преломления сердцевины должен превосходить nc1 для обеспечения направляющих свойство волновода. Предположим, что профиль не изменяется вдоль оси z, то есть волновод обладает трансляционной инвариантностью. Параметры представленного волновода и длина волны света ? в свободном пространстве могут быть объединены в один безразмерный параметр V, называемый волновым параметров, или волноводной частотой. Пусть nc0 - максимальное значение n(x) на оси волновода, тогда V определяется следующим образом:
.
(1.1)


2. Построение лучевой траектории.
Траектория луча определяется лучевым уравнением с функцией профиля n(r)
,
(2.1)

где s - расстояние, отсчитываемое вдоль траектории луча, r - радиус-вектор точки на ней. В случаи планарного волновода профиль показателя преломления n(x) зависит только от координаты x, поэтому каждая точка (x,z), составляющая лучевую траекторию определяется с помощью двух (x-го и z-го) компонент уравнения (2.1):
.
(2.2)

Угол ?z(х), образующийся между касательной к траектории луча и осью волновода, имеет определённый физический смысл (см. рис. 1).
.
(2.3)

Проинтегрировав второе уравнение (2.2) получим соотношение:
,
(2.4)


справедливое при всех х. Оно является обобщением закона Снелля (приложение 1) для градиентных сред. При этом n(x)cos?z(х) постоянно вдоль траектории луча. Для конкретного профиля траектория луча однозначно определяется начальным углом ?z (0).
Каустика точек поворота. Заметим, что если п(х) уменьшается при удалении от оси волновода, то из уравнения (2.4) следует, что внутри сердцевины существует граница, на которой ?z(х)=0. Причем положение этой границы определяется значением ?z(0). За данной границей распространение луча не возможно. Указанная граница называется точкой поворота xtp которая определяется из условия
.
(2.5)

Сопоставляя понятия кривизны лучевой траектории с понятием точки поворота видно, что траектория луча подобна траектории на рис. 2,а, если уравнение (2.5) имеет разрешимо, и траектории на рис. 2,б, если оно решения не имеет. В первом случае луч непрерывно поворачивается и возвращается к оси, во втором случае луч достигает границы сердцевины и, преломляясь, выходит наружу. Так как профиль непрерывен вблизи границы раздела, то угол падения равен углу преломления, ?t=?z(?). Штриховая линия, соответствующая х=хtp, представляет собой геометрическое место расположения точек поворота для всех лучей с одинаковым значением ?z(0), которое часто называют лучевой каустикой, или каустикой точек поворота.
Характеристики траектории луча. Когда уравнение (2.5) имеет решение луч возвращается к оси z под тем же углом, а то есть, имеет периодический характер. И если профиль показателя преломления симметричный, то есть п(-х)=п(х). То траекторию луча в волноводе можно построить простым повторением отрезков траектории, изображенной на рис. 2,а. И тогда траектория имеет вид синусоиды (рис. 3). Она никогда не достигает границы раздела сердцевина-оболочка, что исключает потери мощности. Такие лучи являются направляемыми. Лучи, траектории которого достигает границы раздела, теряют свою мощность и называются рефрагирующим. Траектория луча, касающаяся границы раздела сердцевины с оболочкой, разделяет области, заполненные траекториями лучей каждого из указанных типов. Для данной граничной траектории хtp=?. Обозначая соответствующее этой траектории значение ?z(0) через ?c(0), из (2.5) получаем
.
(2.6)

предполагая, что n(0)=nc0 - максимальное значение п(х).
направляемые лучи: ,
(2.7,а)

рефрагирующие лучи: .
(2.7,б)

Решение уравнения (2.2) для лучевых траекторий рассматривается в разд. 4.
3. Лучевой инвариант.
Следствием трансляционной инвариантности волновода является периодический характер лучевой траектории (рис.3), что позволяет ввести лучевой инвариант ?, который постоянен вдоль пути распространения луча и характеризует его направление в любой точке поперечного сечения сердцевины. В волноводе градиентного профиля с учетом (2.3) и (2.4) он определяется следующим выражением:
.
(3.1)

Следовательно, ? постоянен вдоль траектории и определяет направление луча в любой ее точке, а также положение точки поворота хtp. Так как в точке поворота ?z(х) = 0, то
n(xtp)= ?,
(3.2)

и между хtp и ? существует взаимно однозначное соответствие. Классификация лучей в соответствии с (2.7) может быть проведена также и относительно ?. При х=0 и ?z(0) = ?с(0) из уравнения (3.1) с учетом (2.6) следует, что ?=nс1. Таким образом,
направляемые лучи:
,
(3.3а)

рефрагирующие лучи:
,
(3.3б)

где и nc0 - максимальное значение п(х).
4. Лучевые параметры.
Удобно ввести параметры, характеризующие распространение луча в волноводе с градиентным профилем, которые будут использованы в последующих разделах. К ним относятся, в частности, LP-длина пути (путь между ближайшими точками поворота), L0-оптическая длинна пути (для определения времени прохождения луча, которая определяется как произведение длины пути на показатель преломления) и ZP-полупериод траектории луча, которые легко обобщаются на волноводы с градиентным профилем. Хотя процесс обобщения можно упрост