НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 1. Áýòà-ôóíêöèè Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода: = (1.1) сходятся при .Полагая =1 – t получим: = - = т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда = (1.2)
7 При целом b = n последовательно применяя(1.2) Получим (1.3)
при целых = m, = n,имеем
но B(1,1) = 1,следовательно:
Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то
8 и в результате подстановки ,получаем
полагая в(1.1) ,откуда ,получим (1.4) разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим =
2. Ãàììà-ôóíêöèÿ 9 Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода G (a) = (2.1) сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем G (a) = и после замены , через и t через 1+t ,получим
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
10 откуда (2.2) заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу (2.3)
так как
но при целом имеем (2.4) то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
3. Производная гамма функции 11 Интеграл
сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по в любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно. Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и , и покажем ,что интеграл :
12 сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на .Но тогда на справедливо неравенство
и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области , очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл
13 сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной справедливо равенство
Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при
14 Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1) Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16 Формула Стирлинга Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем
и на основании (2.2) имеем (3.1) В интеграле
Где k > -1,n > 0,достаточно положить
17 Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
= где дзетта функция Римана Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
18
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию (3.2) Непрерывна на интервале (-1, ) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию 19
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале, Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие (3.3) Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая ,имеем
Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2)
20 имеем , полагая на конец , ,получим
или
в пределе при т.е. при (см3.3)
откуда вытекает формула Стирлинга
которую можно взять в виде
21 (3.4) где ,при для достаточно больших полагают (3.5) вычисление же производится при помощи логарифмов
если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
приведем без вывода более точную формулу
где в скобках стоит не сходящийся ряд
5. Примеры вычисления интегралов 22 Для вычисления необходимы формулы:
Г( ) Вычислить интегралы
23
Вывод Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки
Список литературы 1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953 2. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987 3. Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П.,М.,Наука,1966 4. Интегралы и ряды специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983 5. Специальные функции: Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965
