МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ. РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПАСКАЛЬ 7.0 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона) 2. Решение нелинейного уравнения аналитически 3. Блок схема программы 4. Программа на языке PASCAL 7.0 5. Результаты выполнения программы СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ВВЕДЕНИЕ Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов: Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания). Математическая формулировка задачи. Разработка алгоритма решения задачи. Написание программы на языке программирования. Подготовка исходных данных . Ввод программы и исходных данных в ЭВМ. Отладка программы. Тестирование программы. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80 На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона) Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ” Так как f ’(x) № 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде : x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1) Решая его методом итераций можем записать : x n+1 = x n – ( f (x n ) / f ’(x n )) (2) Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид : y = f (b) + f ’(b) * (x – b) Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) № 0, решаем его относительно x. Получим : x = b – (f (b) /f ‘(b)) Нашли абсциссу x 1 точки c 1 пересечения касательной с осью ox : x 1 = b – (f (b) – f ’ (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b 1 (x 1 ; f (x 1 )).Найдем абсциссу x 2 точки с 2 пересечения касательной с осью Ox : x 2 = x 1 – (f (x 1 ) / ( f ’(x 1 )) Вообще : x k+1 = x k – ( f (x k ) / f ’(x k )) (3) Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x k ) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k ; f (x k0 ) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x 0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х 0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х 0 ) * f (х 0 ) > 0. Для оценки приближения используется общая формула : |c-x k-1 | Ј | f (x k+1 )/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] . На практике проще пользоваться другим правилом : Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e - заданная точность решения, то неравенство | x k+1 -x k | Ј e влечет выполнение неравенства |c-x k-1 | Ј e . В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство : |c-x k-1 | Ј e .
2. Решение нелинейного уравнения аналитически Определим корни уравнения х 3 + 0,1х 2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х 3 + 0,1х 2 + 0,4х – 1,2 f ‘ (x) = 3х 2 + 0,1х + 0,4 f (–1) = –2,5 < 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0 x - Ґ -1 0 +1 + Ґ
sign f (x) - - - + +
Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ] Приведем уравнение к виду x = j (x) , так , чтобы | j ‘ (x) | <1 при 0 Ј x Ј +1. Так как max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2 Тогда j (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х 3 – 0,05 х 2 – 0,2 х + 0,6 = – 0,5 х 3 – 0,05 х 2 + 0,8 х + 0,6. Пусть х 0 = 0 , тогда х n+1 = j (х n ). Вычисления расположим в таблице n х n х 2 n х 3 n j ( х n ). f (x)
3. Блок схема программы 4. Программа на языке PASCAL 7.0 program metod_kasatel;{Название программы} uses Crt ; {Модуль дисплейных функций} var {Блок описаний переменных} xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 : real ; function f1(x1: Real ): Real ; {Основная функция} begin f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6; end ; function f2(x4:Real): Real ; {Производная от основной функции} begin f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4–1.2; end ; begin {Начало основного тела программы} Clrscr ; {Очистка экрана перед выполнением программы} a:=0;b:=1;c:=0.00000001; Writeln (' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран} Writeln (' Погрешность с=',c); Readln ; { Ожидание нажатия клавиши Enter} xn:=b; xn1:= f1(xn); y0:=f2(b); while ABS (y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня} begin {Тел
