МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ
. Функции от матриц
Определение функции.
Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента
Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда
Определение f(A) в общем случае
Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения
Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2)
Тогда , т.е. (3), , ,
Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать
Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А
Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А
Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Ю (3) Ю (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу
Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A)
Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),
Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x)
Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А
Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре
Пример:
Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица
. Построим f(H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель [xE-H 1 ]:
, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;
m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Ю 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Ю
Свойства функций от матриц.
Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x):
Доказательство:
Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:
, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:
(*)
Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим:

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A)
ЧТД
Свойство № 2. Пусть матрица и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны
Доказательство:
Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны
ЧТД
Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , т.е. , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда
Доказательство:
Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Ю одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), , Ю
ЧТД
Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , то
Следствие: Если , то , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
Случай № 1
Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены l k (x):

Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить
Построим:

Обратим внимание, что


Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы
Построим базисные многочлены:



Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2
Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае
Случай № 3
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m 1 +m 2 +…+m s =m, deg r(x)<m
Составим дробно-рациональную функцию:
и разложим ее на простейшие дроби

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при
Если в (**) положить , получим:


Для того, чтобы найти a k3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент a ki определяется однозначно
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е

Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,

Найдем минимальный многочлен матрицы А:



Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А



Умножим (*) на (х-3)

при х=3
Ю
Умножим (*) на (х-5)


Таким образом, - интерполяционный многочлен

Пример 2
Если , то доказать, что
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
- характеристический многочлен



d 2 (x)=1, тогда минимальный многочлен


Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:
Ю функция является определенной на спектре
Умножим (*) на
Ю
Умножим (*) на :


Вычислим g , взяв производную (**):
. Полагая ,
, т.е.
Итак, ,
,
,

ЧТД
Пример 3
Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x)
Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Ю f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены




Используем метод неопределенных коэффициентов:




Если f(x)=ln x
f(1)=0 f’(1)=1
f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25
 
4. Простые матрицы
Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , k i – алгебраическая кратность корня
Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению
- подпространство, , где r – ранг матрицы
Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица имеет , то имеет кратность
DF . Размерность называется геометрической кратностью собственного значения
В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:
Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности
DF . Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью
Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда
Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x 1 , x 2 , …,x n таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда и
Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством
Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x 1 , x 2 , …, x n и существует n линейно независимых