МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МИФОЛОГИЯ И ПАНГЕОМЕТРИЗМ
“Открылось мне: в законах точных числ, В бунтующей, мыслительной стихии -
Не я, не я - благие иерархии
Высокий свой запечатлели смысл
Звезда... Она - в непеременном блеске...
Но бегает летучий луч звезды
Алмазами по зеркалу воды
И блещущие чертит арабески”
А.Белый. Дух (1914)
Как справедливо отметил еще О.Шпенглер [37], не существует универсального стиля математического мышления (универсальной математики), поскольку не существует универсальной общечеловеческой культуры. В разные эпохи и у разных народов математика отличалась настолько сильно, что перед нами, в некотором смысле, различные культурные феномены (например, математика античная и математика нововременная). Другой важный тезис Шпенглера состоит в том, что существует теснейшая взаимосвязь между разнообразными сторонами жизни данного культурного организма: античная математика глубочайшим образом связана с античными мифологией, религией, искусством, архитектурой, организацией общественной жизни и т.д., а нововременная математика - с соответствующими сторонами нововременной культуры. Эти два шпенглеровских тезиса являются основополагающими для всякой социокультурной философии математики
Желая проследить далее процесс дифференциации стилей, и приглядываясь к математике определенного культурного организма, мы увидим более мелкие разделения. Например, в случае современной европейской культуры стало уже общепринятым противопоставлять математику “работающих математиков” (working mathematicians) и математику математических логиков и специалистов по основаниям. Другой пример: А.Н.Кричевец предлагает различать в рамках современной культуры, по крайней мере, три математики - математику профессиональных математиков, математику инженеров, и математику физиков [14, с.387-388]. Можно, очевидно, произвести и другие разделения современной математики. Для дальнейшего нам будет удобно несколько развить различение А.Н.Кричевца: мы можем разделять математику через преимущественное тяготение к определенной смежной области культуры: так у нас будут появляться не только математика физиков или инженеров, но и математика философов, математика художников, математика поэтов и т.д. Особое положение при таком делении займет математика профессиональных математиков. Она не взаимодействует напрямую с другими областями культуры: такое взаимодействие всегда опосредовано одной из “математик”, перечисленных нами выше
Преимущественная связь с той или иной областью культуры, равно как и установка, состоящая в избегании такой связи, накладывает определенный отпечаток на стиль математического мышления, характерный для данной “математики”. Можно даже смотреть на подобное деление математики как на различение стилей мышления par excellence
Очевидно, дифференциацию стилей математического мышления можно продолжать и далее, пока не дойдем до уникального стиля данного математика или даже данного математического текста. Однако уже произведенного выше различения будет вполне достаточно для наших целей
Пока что мы проводили разделительные линии. Мы отделяли математику разных культур и эпох, мы разделяли математику и в рамках единой эпохи и единой культуры, в зависимости от основной области приложений. Теперь необходимо сказать, что, конечно же, в культурном организме математика физиков не обособлена от математики профессиональных математиков или от математики средней школы, а сложным образом взаимодействует с ними. Да и между культурами нет все-таки непроницаемых перегородок: так античная математика и математика нововременная, несмотря на все свои отличия, связаны все же цепью “социальных эстафет” (М.А.Розов). Именно наличие этой, хотя порой весьма хрупкой связи и позволяет нам все ж таки надеяться на возможность понимания, равно как и на оправданность разговора о едином феномене математики (хотя более адекватным здесь было бы сравнение не с единой жизнью, а с цепью перевоплощений, связанной единством кармы)
Итак, хотя универсальной математики не существует, это не означает бессмысленности разговора о математике вообще. (Ниже мы будем говорить не только об определенном стиле математического мышления, но и о понимании математики вообще, этим стилем провоцируемом). Достаточно удобным для разъяснения того, что мы хотим сказать, оказывается противопоставление понятия-емкости и понятия-типа , производимое Р.Арнхеймом [2, с.34-39]. “Понятие-емкость - это сумма свойств, по которым можно узнать данный вид сущности. Тип - это структурная основа такого вида сущности” [2, с.35]. Мы не будем пытаться в дальнейшем привести необходимый и (в совокупности) достаточный перечень черт, определяющих математическое мышление. Да такой перечень и невозможно составить (здесь уместно вспомнить знаменитые рассуждения Витгенштейна о понятии “игра”). Однако это не делает менее интересной попытку угадать некий образ , некую структуру-гештальт , которая давала бы нам ощущение прозрения в тайну математического
При этом достаточно понятно, что характер подобного “прозрения” будет зависеть от избранного угла зрения на математику (в нашем случае, взглядом на нее с точки зрения ее связи преимущественно с такими областями культуры как религия, философия, искусство, т.е. взглядом sub specie artis). Выбор иного угла зрения привел бы к иной картине, но избрание одного угла зрения и не предполагает отрицания правомерности других, а значит, мы и не имеем в указании на наличие других возможных подходов решающего аргумента против права создаваемой в данной работе картины на существование. Более того: мы не просто избираем здесь определенный ракурс, но стремимся сохранять его, пока остается возможность развивать мысль в избранном направлении. Это сознательный метод данной работы
Начать естественно с выражения “математическая мифология”. Для разъяснения того, что имеется в виду, нам придется обратиться к Платону
1. Что такое математическая мифология?
Платоновский Тимей говорит: “... не удивляйся, Сократ, что мы, рассматривая во многих отношениях много вещей, таких, как боги и рождение Вселенной, не достигнем в наших рассуждениях полной точности и непротиворечивости. Напротив, мы должны радоваться, если наше рассуждение окажется не менее правдоподобным, чем любое другое, и притом помнить, что и я, рассуждающий, и вы, мои судьи, всего лишь люди, а потому нам приходиться довольствоваться в таких вопросах правдоподобным мифом , не требуя большего” [21, с.433; курсив мой]
Мифология “Тимея” насыщена математическими элементами. Это не просто миф, но миф математический . Здесь и рассуждение о шарообразности космоса, и разделение мировой души в соответствии с определенными арифметическими закономерностями, и все учение о четырех стихиях, включающее знаменитые рассуждения о правильных многогранниках. Согласно Проклу, “Платон многие удивительные учения о богах излагает нам посредством математических форм”, и таков же “весь способ Пифагора учить о богах” [24, с.81]
В чем же смысл математического мифа? В чем притягательность именно математической мифологии для античного мыслителя? Ответ на эти вопросы мы находим у того же Платона, и в первую очередь в диалоге “Государство”
Во-первых, здесь мы весьма отчетливо видим, каким образом миф работает в динамике платоновской мысли. В конце VI книги строятся взаимосвязанные иерархии бытия и познавательных способностей, а параллельно им развивается соответствующая мифологическая конструкция, которая находит окончательное завершение уже в VII книге в знаменитом мифе о пещере. По существу Платон параллельно возводит две тесно связанные между собою конструкции - метафизическую и мифологическую . Их взаимосвязь организуется посредством широко применяемого Платоном принципа пропорции или аналогии (см. подробнее у А.Ф.Лосева [16, с.250-275])
Приведем в качестве примера лишь малый фрагмент этого построения [21, с.253-319]. Содержащееся в VI книге учение о Благе может быть представлено следующей пропорцией:
Числители выписанных дробей относятся к области подлинного бытия, а знаменатели - к области чувственно воспринимаемого (зримого). Метафизическую связь между мышлением, идеями и Благом, предлагается понимать по аналогии с тем, как связаны между собой зрение, видимые с его помощью вещи и, только и делающие возможным существование зрения и видимого мира, Солнце и его свет. Наша душа, погрязшая в чувственном мире, и наш язык, приспособленный преимущественно к выражению предметов и отношений этого мира, позволяет нам с помощью такой пропорции представить, до некоторой степени, и сверхчувственное отношение сверхчувственных предметов. В этом и состоит, по всей видимости, главный смысл, как приведенного построения, так и всего мифа о пещере, в который это построение разрастается в VII книге
Во-вторых, в тех же книгах “Государства” мы находим ответ не только на вопрос о функции платоновского мифа вообще, но и о специфической притягательности именно математического мифа. Имеется в виду знаменитое учение о срединном положении математики, и вытекающей отсюда исключительной роли последней в про