МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Содержание
Постановка задачи.
Построение модели.
Описание алгоритма
Доказательство правильности алгоритма
Блок-схема алгоритма
Описание переменных и программа
Расчёт вычислительной сложности
Тестирование
Список литературы
Постановка задачи
Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга
Построение модели
Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее
Дерево позиций для n = 2
 
 
Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2
Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении
Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции
Описание алгоритма
Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций
Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:
вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок)
вправо (перейти в соседнюю справа вершину)
вниз (спуститься вниз на один уровень)
вверх_налево
вправо
вниз
и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному"
Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей
Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом"
Нам понадобится такая процедура:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
{дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)}
begin
{инвариант: ОЛ}
while есть_сверху do begin
вверх_налево
end
{ОЛ, Робот в листе}
обработать;
{ОЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, листья не обработаны
надо: Робот в корне, листья обработаны
{ОЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОЛН}
while есть_снизу do begin
if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа}
вправо;
{ОЛ}
вверх_до_упора_и_обработать;
end else begin
{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
вниз;
end;
end;
{ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны}
Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):
{ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}
{ОЛ} вверх_налево {ОЛ}
{есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}
{не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}
Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья)
Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может:
а) быть частью пути из корня в x (y ниже x);
б) свернуть налево с пути в x (y левее x);
в) пройти через x (y над x);
г) свернуть направо с пути в x (y правее x);
В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими:
(ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее;
(ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над
Вот как будет выглядеть программа:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}
begin
{инвариант: ОНЛ}
while есть_сверху do begin
обработать
вверх_налево
end
{ОНЛ, Робот в листе}
обработать;
{ОНЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, ничего не обработано
надо: Робот в корне, все вершины обработаны
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН}
while есть_снизу do begin
if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}
вправо;
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать;
end else begin
{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
вниз;
end;
end;
{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны}
Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья по-прежнему обрабатываются по разу:
Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью"
Программа будет такой:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}
begin
{инвариант: ОНЛ}
while есть_сверху do begin
обработать
вверх_налево
end
{ОНЛ, Робот в листе}
обработать;
{ОНЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, ничего не обработано
надо: Робот в корне, все вершины обработаны
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН}
while есть_снизу do begin
if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}
вправо;
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать;
end else begin
{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
вниз;
обработать;
end;
end;
{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны полностью}
Доказательство правильности алгоритма
Докажем , что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве)
Доказательство . Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно, начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается. А это возможно, только если Робот все время спускается вниз. Противоречие
Блок-схема алгоритма
Описание переменных и программа
Теперь реализуем операции с деревом позиций. Позицию будем представлять с помощью переменной k: 0..n (число ферзей) и массива c: array [1..n] of 1..n (c [i] - координаты ферзя на i-ой горизонтали; при i > k значение c [i] роли не играет). Предполагается, что все позиции допустимы (если убрать верхнего ферзя, остальные не бьют друг друга)
program queens;
const n = ...;
var k: 0..n;
c: array [1..n] of 1..n;
procedure begin_work; {начать работу}
begin
k := 0;
end;
function danger: boolean; {верхний ферзь под боем}
var b: boolean;
i: integer;
begin
if k <= 1 then begin
danger := false;
end else begin
b := false; i := 1;
{b <=> верхний ферзь под боем ферзей с номерами < i}
while i <> k do begin
b := b or (c[i]=c[k]) {вертикаль}
or (abs(c[i]-c[k])=abs(i-k)); {диагональ}
i := i+ 1;
end;
danger := b;
end;
end;
function is_up: boolean {есть_сверху}
begin
is_up := (k < n) and not danger;
end;
function is_right: boolean {есть_справа}
begin
is_right := (k > 0) and (c[k] < n);
end;
{возможна ошибка: при k=0 не определено c[k]}
function is_down: boolean {есть_снизу}
begin
is_up := (k > 0);
end;
 
procedure up; {вверх_налево}
begin {k < n}
k := k + 1;
c [k] := 1;
end;
procedure right; {вправо}
begin {k > 0, c[k] < n}
c [k] := c [k] + 1;
end;
procedure down; {вниз}
begin {k > 0}
k := k - 1;
end;
procedure work; {обработать}
var i: integer;
begin
if (k = n) and not danger then begin
for i := 1 to n do begin
write ('<', i, ',' , c[i], '> ');
end;
writeln;
end;
end;
procedure UW; {вверх_до_упора_и_обработать}
begin
while is_up do begin
up;
end
work;
end;
begin
begin_work;
UW;
while is_down do begin
if is_right then begin
right;
UW;
end else begin
down;
end;
end;
end
Расчёт вычислительной сложности
Емкостная сложность:
В программе используется одномерный массив размерности n, поэтому объём входа и объём выхода совпадают и равны n. Количество пременных равно 3(i,b,k) + 1(const n), т.е. объём промежуточных данных равен 4
С(n)=n+4
Временная сложность:
Если