ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности. Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство (1а1+(2а2+…+(лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа (1, (2,…, (л=0 и (R Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном (i(0 (i=1,…,k) Свойства Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой. Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а(0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число (, что b=(a. Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны. Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=(a. Будем считать, что а,b(0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-(a=0. Т.к. коэфф. При b(0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. (а+(b=0, ((0. а= -b/(*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость. Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то (а+(b+(c=0, ((0. с= - (/(*а - (/(*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости. БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы. В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару. В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов. 2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. (а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц. Свойства: (а,b)= (b,а) ((а,b)= ( (а,b) (а+b,с)= (а,с)+ (b,с) (а,а)=|a|2 – скал.квадрат. Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1. Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован. Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку. Свойства: [a,b]= - [b,a] [(а,b]= ( [а,b] [a+b,c]=[a,c]+[b,c] [a,a]=0 Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах. Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения. Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго. Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a| РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. 1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю. Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1). Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой. Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д. Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным. 1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0) 2. С=0, А=0, By=0, значит у=0 3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0 4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ 5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY x/a+y/b=1. Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b x-x1/e=y-y1/m Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1) x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1 Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1) y=kb+b. u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b xcos(+ysin(-P=0 ( - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и ( Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin(). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcos(+ysin(-P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos2(=(A*t)2 Sin2(=(B*t)2 -p=C*t cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1 НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ. 1. xcos(+ysin(-P=0 ( - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и ( Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin(). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcos(+ysin(-P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos2(=(A*t)2 Sin2(=(B*t)2 -p=C*t cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону. Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos(+ysin(-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos(+y1sin(-P=0 Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cos(+y0sin(-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2) ГИПЕРБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная Каноническое уравнение: Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов; |r2-r1|=2a; a<c; ,
