Московский Государственный педагогический Университет
им. В.И.Ленина
Комплексные числа в планиметрии
(Курсовая работа)
Подготовила: студентка III курса
Маематического факультета
Ильичёва Мария В.
Научный руководитель: доцент
Иванов Иван И.
Москва, 2000
Содержание
Введение……………………………………………………………………….3
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка…….4
Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек……8
Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности…………………………………………………………………..14
Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник…………...18
Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел…………………22
Две прямые. Расстояние от точки до прямой………………………………24
Заключение…………………………………………………………………...30
Список использованной литературы……………………………..………....31
Введение
Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.
Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким.
В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в применении к задачам элементарной геометрии на плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем.
Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка
При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскости комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):
.

Число z тогда называют комплексной координатой точки М.
Поскольку множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плоскость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел.
При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z=iy. Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число.
Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r:
|z| = r = |OM| = .
Если — ориентированный угол, образованный вектором с осью х, то по определению функции синуса и косинуса

откуда и поэтому .
Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z=x+iy называют алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z:
.
Если дано комплексное число z=x+iy, то число называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу . Точки М(z) и симметричны относительно оси х (рис.2).
Из равенства следует y=0 и обратно. Это значит, что число, равное своему сопряженному, является действительным и обратно.

Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относительно начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и симметричны относительно оси у. Из равенства z= вытекает x=0 и обратно. Поэтому условие z= является критерием чисто мнимого числа.
Для любого числа z, очевидно, |z| = || = |-z| = ||.
Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: .
Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами.
Каждой точке М(z) плоскости - взаимно однозначно соответствует вектор . Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+b является координатой точки С, такой, что (рис.3). Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что .
Расстояние между точками А и В равно :
|АВ| = |а-b|. (1)

Так как |z|2= z, то
|AB|2=(a-b)(). (2)
Уравнение z= r2 определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение , в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:

откуда (3)
Если положить и , то
(4)
Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны.
При точка С является серединой отрезка AB, и обратно.
Тогда:
c = . (4a)
Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату = при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство
a+c = b+d (5)
является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.
Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.1)
Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.
Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.
Так как m = и n = , то
|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2

|AC|2+|BD|2+4|MN|2

.
Равенство доказано.
Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2)
Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= -a, d= -b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству , которое означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.
Задача 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей AC, BD четырехугольника ABCD равна удвоенной сумме квадратов отрезков MN, PQ, соединяющих середины противоположных сторон . (Рис.3)

C
B B C
N M MЬ

A D A D
Рис. 1 Рис. 2
Решение. Требуется доказать:
Запишем левую часть равенства в комплексной форме: . Воспользовавшись (4a), находим комплексное равенство правой части и непосредственным подсчетом убеждаемся, что она равна левой.