Содержание Определение колебаний. * Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма. * Методом вращающегося вектора амплитуды. * Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. * Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты. * Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу. *
Определение колебаний. Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением , где x – смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2 ? секунд;t - время называют гармоническими Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма. Методом вращающегося вектора амплитуды. Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически 1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x 2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый ? 3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ? 0 , получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A , а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ? по гармоническому закону: (1) Где e x и e у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде: , (2) Они определяют координаты частицы на плоскости xy. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения: (3). Соответственно (4) По формуле для косинуса суммы: , тогда
Преобразуем это уравнение
(5) Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз ? Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х 1 и x 2 одного направления и одинаковой частоты: , (1) Оба колебания представим с помощью векторов A 1 и А 2 . Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A 1 и А 2 Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:
Вектор A вращается с той же угловой скоростью ? 0 , как и векторы А 1 и А 2 , так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой (? 0 , амплитудой A и начальной фазой ? . Используя теорему косинусов получаем, что
(2) (3) Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления
Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу. Разность фаз ? равна нулю. При разности фаз, равной нулю, уравнение (5) упрощается следующим образом:
Отсюда : - уравнение прямой Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ? и амплитудой, равной (рис. 1 а) Разность фаз ? равна ±?. При разности фаз ? равной ±? уравнение (5) имеет вид
- результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 1 б)
Рис.1
Разность фаз равна . Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности При разности фаз, равной .уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Если амплитуды А и В равны, эллипс превращается в окружность Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ? может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний: , (знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке) При разных частотах взаимно перпендикулярных колебаний, траектории результирующего движения будут имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу
Фигура Лиссажу для отношения частот 1:2 и разности фаз ?/2
Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз ? /2
