Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos (, y = r sin (. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки (Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и ( = (i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
(rj = rj+1 - rj,
((i = (i+1 - (i
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки (Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rj((i и (rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
(Si = rj ((i (rj (3)
Что касается ячеек (Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij ( Sij для простоты выберем вершину ячейки (Sij с полярными координатами rj и (i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos (i, yij = rj sin (i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos (i, rj sin (i) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек (Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины (i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости O(r. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cos(, r sin()r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами ((i и (ri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r d( dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1((), r1(() - однозначные непрерывные функции на отрезке [(,(]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,() = rf(r cos(, r sin()
Пример 1.
Переходя к полярным координатам ( и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: (=0,
(=(/4, r cos(=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем