Р Е Ф Е Р А Т на тему : “ Динамическое представление сигналов “ Выполнил: Зазимко С.А. Принял : Котоусов А.С. МОСКВА Динамическое представление сигналов. Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”. ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем: Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса. На практике широкое применение нашли два способа динамического представления. Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени ( . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени (. В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.
рис. 1 При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.
рис. 2 Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ. Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой : ( 0, t < -(, u(t) ( ( 0.5(t/(+1), -( ( t ( (, (1) ( 1, t > (. Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.
Переход совершается по линейному закону за время 2(. Теперь если параметр ( устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда : ((((( ( ((((((( t < (( ((t( (( (( ((((((( t ( (( (2) ( (((((( t ( (( В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова : ((((( ( ((((((( t < t0( ((t - t0( ( ( ((((((( t ( t0( (3) ( (((((( t ( t0(
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ. Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {(,2(,3(,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций : ( s(t)(s0((t)+(s1-s0)((t-()+...=s0((t)+((sk-sk-1)((t-k(). k=1 Если теперь шаг ( устремить к нулю. то дискретную переменную k( можно заменить непрерывной переменной (. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/d()d( , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда ( ( ds S(t)=s0 ((t) + ( ((t-() d( (4) ( d( 0 Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции. ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ . Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :
При любом выборе параметра ( площадь этого импульса равна единице : ( П = ( u dt = 1 - ( Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с. Теперь устремим величину ( к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при ( ( 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака :
((t) = lim u (t;() ((0 Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ. Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как : (k(t) = Sk [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых : ( S(t) = ( ( (t) (7) k= - ( k В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t : tk < t < tk+1 Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага (, то ( 1 S(t) = ( Sk --- [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] ( k=- ( ( Переходя к пределу при ( ( 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной (, дифференциал которой d( ,будет отвечать величине ( . Поскольку 1 lim [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] --- ((( ( получим искомую формулу динамического представления сигнала ( S (t) = ( s (() ((t - () d( - ( Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен ( - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от - ( до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка : ((t) = 1’ (t) ; ((t-t0) = 1’ (t-t0) . Обобщенные функции как математические модели сигналов. В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция ((t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции. В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ((t) может служить, например, значение интеграла ( ( ((t) ((t) dt (8) - ( при известной функции ((t) , которую называют пробной функцией. Каждой функции ((t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций ((t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть ((, ((( ( ((2) = ??(,(() + (((,(2). Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций ((t) задана обобщенная функция ((t) . Следует сказат
