ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ I И II ПОРЯДКА
Введение
Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела
При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса
Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) – число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре
Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение
или
Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:
, где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)= g N ( g - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то . На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая
Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов
В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством
Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество
Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему
,
и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение
,
описывающее свойство присущее всем кривым семейства
Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c
Дифференцируя данное уравнение по x, получаем
Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол
1. Основные понятия и определения
Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением
Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде
или
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение
Например:
А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;
Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;
В) является дифференциальным уравнением n-го порядка
Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество
Например, пусть дано дифференциальной уравнение
Тогда любая функция вида y=c 1 sinx+c 2 cosx, где c 1 , c 2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения
Действительно, дифференцируя уравнение y=c 1 sinx+c 2 cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем
Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения
Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько
В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка
отвечает семейство решений, содержащих n параметров
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c 1 , c 2 , …, c n ), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c 1 , c 2 , …, c n , которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество
Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c 1 , c 2 , …, c n )=0
Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом
Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c 1 , c 2 , …, c n . Обычно значения этих произвольных постоянных c 1 , c 2 , …, c n определяются заданием начальных условий: y(x 0 )=y 0 , . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений
,
,
,
………………………………
,
решая которые относительно c 1 , c 2 , …, c n находят значения этих постоянных
Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x 0 )=y 0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x 0 ,y 0 )
Геометрическая интерпретация.
Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида
В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M
Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей
Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление , где a - угол наклона касательной к оси x. Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения
И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения , то . Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектора поля направлений
В качестве иллюстрации возьмем уравнение
Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)= l , и каждой точке изоклины соответствует вектор
Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или y=- l x
Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c<0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов
2. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка
Задано дифференциальное уравнение вида
или, иначе,
Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x 0 )=y 0 . Тогда из следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c 0 . Из y(x 0 )=y 0 , y(x 0 )=F(x 0 )+c 0 получаем c 0 =y 0 -F(x 0 ), т.е. y(x)=F(x)-F(x 0 )+y 0
Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x 0 ) равна значению определенного интеграла ,
И, следовательно, получаем
,
т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовле