Вопросы по теории вероятностей +Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. +Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей. +Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения. +Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения. +Функция распределения; квантиль и а -процентная точка распределения. +Формула полной вероятности и теорема гипотез. +Числовые характеристики случайных величин: моменты; дисперсия; и среднеквадратичное отклонение. - +Равномерное распределение, его числовые характеристики. +Биномиальное распределение, распределение Пуассона. +Нормальное (Гаусовское) распределение, стандартные нормальные распределения. Стандартная нормальная случайная величина. +Независимые и зависимые случайные величины: ковариация, корреляция, коэффициент корреляции. +Теоремы о числовых характеристиках. +Закон больших чисел, неравенства и теоремы Чебышева, Бернулли. +Центральная предельная теорема теории вероятностей. Выборки, объем выборки. Состоятельные, не смешенные и эффективные оценки; оценивание среднего значения и дисперсии. +Доверительные интервалы. +Теорема о повторении опытов. Задача_1 Задача_2 Задача_3 Задача_4 Задача_5 Задача_6 Задача_7 Задача_8 Задача_9 Ответ на билет 1 X – случайная величина. x – значение случайной величины. - непрерывная случайная величина Дискретная случайная величина – можно пересчитать. Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1). Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888). Вернуться к вопросам Ответ на билет 2 Сумма событий и произведение событий. А,В,….,G - события Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=AB….G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример: Допустим идет стрельба по мишени А1 - попадание при первом выстреле А2 - попадание при втором выстреле S=A1+A2 (хотя бы одно попадание) Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G= Пример: А1 - промах при первом выстреле А2 - промах при втором выстреле А3 - промах при третьем выстреле (не одного попадания) Теорема сложения вероятностей. Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A) P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) S=S1+S2+…+Sn P(S)=P(S1)+P(S2)+…+P(Sn) Следствие: Если событие S1, S2, …, Sn образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.
Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу . (пример - монетка имеющая орел и орешко)
Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле: Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B) Условие зависимости события А от события В: P(A|B)P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место: P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B) Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) Пример: на монете выпадет орел 2 раза S=AорAор S=P2(A)=(1/2)2=1/4 Вернуться к вопросам Ответ на билет 3 Закон распределения случайных величин Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое. Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения. Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x1, x2, …, xn В результате опыта : Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi , так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности pi(i=1,2…,n), то есть в точности указаны решения вероятности pi каждого события xi Этим будет установлен закон случайной величины xi. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями. Простейшей формой записи законов распределения является таблица: X x1, x2, …, xn
P p1, p2, …, pn
Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно). Вернуться к вопросам Ответ на билет 4 Плотность и функция распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:
Найти коэффициент а Найти плотность распределения F(x) Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0,5<x<3)=? Построить график функций F(4)=1 -> a4=1, a=0,25
- два способа решения.
Вернуться к вопросам Ответ на билет 5 Функция распределения Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<x) F-функция распределения случайной величины х F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения. F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных. Основные свойства функции распределения. Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1) При функция распределения F(x)=0; F()=0 При F(x)=1; F()=1 Для дискретной случайной величины: Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которых происходят в точках соответствующих возможных значений случайных величин и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1. F(x) непрерывной случайной величины Часто используют величины квантиль и -процентная точка Квантиль - решение уравнения - процентная точка определяется из уравнения
Вернуться к вопросам Ответ на билет 6 Формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2, …, Hn, образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:
Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. применяем 2е теоремы:
-формула полной вероятности Теорема гипотез (формула Байеса). Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, …, Hn известны и равны P(H1), P(H2), …, P(Hn). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|Hi) (i=1,2,…,n). Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными слова
