Ðåôåðàò ïî ñòåðåîìåòðèè
Ó÷åíèêà 11 “” êëàññà
Àëåêñååíêî Íèêîëàÿ
Òåìà :
Äâèæåíèå.
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå !
29.10.1995 ã.
Øêîëà # 1278, êë. 11 “”.
Äâèæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ôèãóð.
Ïðè ñîçäàíèè ðåôåðàòà áûëè èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå êíèãè:
1. “Ãåîìåòðèÿ äëÿ 9-10 êëàññîâ”. À.Ä.Àëåêñàíäðîâ, À.Ë.Âåðíåð, Â.È.Ðûæèê.
2. “Ãåîìåòðèÿ”. Ë.Ñ.Àòàíàñÿí, Â.Ô.Áóòóçîâ, Ñ.Á.Êàäîìöåâ è äð.
3. “Ìàòåìàòèêà”. Â.À.Ãóñåâ, À.Ã.Ìîðäêîâè÷.
Âñå ðèñóíêè íàõîäÿòñÿ íà îòäåëüíîì ëèñòå, ïðèëîæåííîì ê ðåôåðàòó. Ðåøåíèÿ çàäà÷ òàêæå íà îòäåëüíîì ëèñòå. Äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ òåîðåì, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì, ÿ òàêæå ïðèâîæó íà îòäåëüíûõ ëèñòêàõ. Â ðåôåðàòå - òîëüêî îïðåäåëåíèÿ è êëàññèôèêàöèÿ.
Äâèæåíèåì â ãåîìåòðèè íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèå. Ñëåäóåò ðàçúÿñíèòü, ÷òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîä ñëîâîì “îòîáðàæåíèå”.
1. Îòîáðàæåíèÿ, îáðàçû, êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé.
Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó èç M åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà èç N.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îòîáðàæåíèå ôèãóð â ïðîñòðàíñòâå. Íèêàêèå äðóãèå îòîáðàæåíèÿ íå ðàññìàòðèâàþòñÿ, è ïîòîìó ñëîâî “îòîáðàæåíèå” îçíà÷àåò ñîîòâåòñòâèå òî÷êàì òî÷åê.
Î òî÷êå X’, ñîîòâåòñòâóþùåé ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè f òî÷êå X, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òî÷êè X, è ïèøóò X’ = f(X). Ìíîæåñòâî òî÷åê X’, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàì ôèãóðû M, ïðè îòîáðàæåíèè f íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ôèãóðû M è îáîçíà÷àåòñÿ M’ = f(M).
Åñëè îáðàçîì M ÿâëÿåòñÿ âñÿ ôèãóðà N, ò.å. f(M) = N, òî ãîâîðÿò îá îòîáðàæåíèè ôèãóðû M íà ôèãóðó N.
Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, åñëè ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè îáðàçû êàæäûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê ðàçëè÷íû.
Ïóñòü ó íàñ åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà M íà N. Òîãäà êàæäàÿ òî÷êà X’ ìíîæåñòâà N ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òîëüêî îäíîé (åäèíñòâåííîé) òî÷êè X ìíîæåñòâà M. Ïîýòîìó êàæäîé òî÷êå X’ М N ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òó åäèíñòâåííóþ òî÷êó X М M, îáðàçîì êîòîðîé ïðè îòîáðàæåíèè f ÿâëÿåòñÿ òî÷êà X’. Òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà N íà ìíîæåñòâî M, îíî íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì äëÿ îòîáðàæåíèÿ f è îáîçíà÷àåòñÿ f. Åñëè îòîáðàæåíèå f èìååò îáðàòíîå, òî îíî íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì.
Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ j íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A, ÷òî
j(A) = A.
Èç äàííûõ îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f òàêæå îáðàòèìî è (f ) = f. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèÿ f è f íàçûâàþòñÿ òàêæå âçàèìíî îáðàòíûìè.
Ïóñòü çàäàíû äâà îòîáðàæåíèÿ: îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N è îòîáðàæåíèå g ìíîæåñòâà N â ìíîæåñòâî P. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè f òî÷êà
X М N ïåðåøëà â òî÷êó X’ = f(X) М N, à çàòåì X’ ïðè îòîáðàæåíèè g ïåðåøëà â òî÷êó X’’ М P, òî òåì ñàìûì â ðåçóëüòàòå X ïåðåøëà â X’’ (ðèñ.1).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå h ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî P. Îòîáðàæåíèå h íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèÿ f ñ ïîñëåäóþùèì îòîáðàæåíèåì g.
Åñëè äàííîå îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî, ïðèìåíÿÿ åãî, à ïîòîì îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f , âåðíåì, î÷åâèäíî, âñå òî÷êè â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, ò.å. ïîëó÷èì òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, òàêîå, êîòîðîå êàæäîé òî÷êå ñîïîñòàâëÿåò ýòó æå òî÷êó.
2. Îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ.
Äâèæåíèåì (èëè ïåðåìåùåíèåì) ôèãóðû íàçûâàåòñÿ òàêîå åå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûì äâóì åå òî÷êàì A è B ñîîòâåòñòâóþò òàêèå òî÷êè A’ è B’, ÷òî |A’B’| = |AB|. (ðèñ.2).
Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ.
Ôèãóðà F’ íàçûâàåòñÿ ðàâíîé ôèãóðå F, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç F äâèæåíèåì.
3. Îáùèå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ.
Ñâîéñòâî 1 (ñîõðàíåíèå ïðÿìîëèíåéíîñòè).
Ïðè äâèæåíèè òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïðè÷åì òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè, ïåðåõîäèò â òî÷êó, ëåæàùóþ ìåæäó îáðàçàìè äâóõ äðóãèõ òî÷åê (ñîõðàíÿåòñÿ ïîðÿäîê èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïëàíèìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî òðè òî÷êè A, B, C ëåæàò íà ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ, íàïðèìåð òî÷êà B, ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè - òî÷êàìè A è C, ò.å. êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
|AB| + |BC| = |AC|.
Ïðè äâèæåíèè ðàññòîÿíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ, à çíà÷èò, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ òî÷åê A’, B’, C’:
|A’B’| + |B’C’| = |A’C’|.
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè A’, B’, C’ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è èìåííî òî÷êà B’ ëåæèò ìåæäó A’ è C’.
Èç äàííîãî ñâîéñòâà ñëåäóþò òàêæå åùå íåñêîëüêî ñâîéñòâ:
Ñâîéñòâî 2. Îáðàçîì îòðåçêà ïðè äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê.
Ñâîéñòâî 3. Îáðàçîì ïðÿìîé ïðè äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, à îáðàçîì ëó÷à - ëó÷.
Ñâîéñòâî 4. Ïðè äâèæåíèè îáðàçîì òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ðàâíûé åìó òðåóãîëüíèê, îáðàçîì ïëîñêîñòè - ïëîñêîñòü, ïðè÷åì ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè îòîáðàæàþòñÿ íà ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè, îáðàçîì ïîëóïëîñêîñòè - ïîëóïëîñêîñòü.
Ñâîéñòâî 5. Ïðè äâèæåíèè îáðàçîì òåòðàýäðà ÿâëÿåòñÿ òåòðàýäð, îáðàçîì ïðîñòðàíñòâà - âñå ïðîñòðàíñòâî, îáðàçîì ïîëóïðîñòðàíñòâà - ïîëóïðîñòðàíñòâî.
Ñâîéñòâî 6. Ïðè äâèæåíèè óãëû ñîõðàíÿþòñÿ, ò.å. âñÿêèé óãîë îòîáðàæàåòñÿ íà óãîë òîãî æå âèäà è òîé æå âåëè÷èíû. Àíàëîãè÷íîå âåðíî è äëÿ äâóãðàííûõ óãëîâ.
Ñíà÷àëà ÿ ðàññìîòðþ âñå îñíîâíûå âèäû äâèæåíèé, à çàòåì ñâåäó èõ â åäèíóþ ñèñòåìó.
4. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
Îïðåäåëåíèå. Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, èëè, êîðî÷å, ïåðåíîñîì ôèãóðû, íàçûâàåòñÿ òàêîå åå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå åå òî÷êè ñìåùàþòñÿ â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè íà ðàâíûå ðàññòîÿíèÿ (ðèñ.3), ò.å. ïðè ïåðåíîñå êàæäûì äâóì òî÷êàì X è Y ôèãóðû ñîïîñòàâëÿþòñÿ òàêèå òî÷êè X’ è Y’, ÷òî
XX’ = YY’.
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðåíîñà: Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ è íàïðàâëåíèÿ, ò.å.
X’Y’ = XY.
Îòñþäà âûõîäèò, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ åñòü äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèå è íàîáîðîò, äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèå, åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
Èç ýòèõ óòâåðæäåíèé òàêæå âûòåêàåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ôèãóðû çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê. Íàïðèìåð, åñëè óêàçàíî, â êàêóþ òî÷êó A’ ïåðåõîäèò
äàííàÿ òî÷êà A, òî ýòîò ïåðåíîñ çàäàí âåêòîðîì AA’, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè
ñìåùàþòñÿ íà îäèí è òîò æå âåêòîð, ò.å. XX’ = AA’ äëÿ âñåõ òî÷åê Õ.
5. Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1. Òî÷êè A è A’ íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè A, A’, O ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è OX = OX’. Òî÷êà Î ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ñàìà ñåáå (îòíîñèòåëüíî Î).
Äâå ôèãóðû íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè îäíîé ôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î òî÷êà â äðóãîé ôèãóðå è îáðàòíî.
Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, ôèãóðà ìîæåò áûòü ñèììåòðè÷íà ñàìà ñåáå îòíîñèòåëüíî íåêîåé òî÷êè Î. Òîãäà ýòà òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè ôèãóðû, à ôèãóðà - öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîé.
Îïðåäåëåíèå 2. Öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé ôèãóðû îòíîñèòåëüíî Î íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå ýòîé ôèãóðû, êîòîðîå ñîïîñòàâëÿåò êàæäîé åå òî÷êå òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî Î.
Îñíîâíîå ñâîéñòâî : Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå, à íàïðàâëåíèå èçìåíÿåò íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Èíà÷å ãîâîðÿ, ëþáûì äâóì òî÷êàì X è Y ôèãóðû F ñîîòâåòñòâóþò òàêèå òî÷êè X’ è Y’, ÷òî
X’Y’ = -XY.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ñ öåíòðîì â òî÷êå Î òî÷êè X è Y îòîáðàçèëèñü íà X’ è Y’. Òîãäà, êàê ÿñíî èç îïðåäåëåíèÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè (ðèñ.4),
OX’ = -OX, OY’ = -OY.
Âìåñòå ñ òåì
XY = OY - OX, X’Y’ = OY’ - OX’.
Ïîýòîìó èìååì:
X’Y’ = -OY + OX = -XY.
Îòñþäà âûõîäèò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, èçìåíÿþùèì íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå è íàîáîðîò, äâèæåíèå, èçìåíÿþùåå íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå, åñòü öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ.
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ôèãóðû çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñóùåñòâóþùèõ òî÷åê: åñëè òî÷êà À îòîáðàæàåòñÿ íà À’, òî öåíòð ñèììåòðèè - ýòî ñåðåäèíà îòðåçêà AA’.
6. Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ (îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè).
Îïðåäåëåíèå 1. Òî÷êè A è A’ íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè a, åñëè îòðåçîê AA’ ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòîé ïëîñêîñòè è äåëèòñÿ åþ ïîïîëàì. Ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè a ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ñàìîé ñåáå îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè (ðèñ.5).
Äâå ôèãóðû F è F’ íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî äàííîé ïëîñêîñòè, åñëè îíè ñîñòîÿò èç òî÷åê, ïîïàðíî ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè, ò.å. åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè îäíîé ôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿ åé òî÷êà â äðóãîé ôèãóðå.
Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ïåðåâîäèò ôèãóðó â ñåáÿ, òî ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè a, à ïëîñêîñòü a - ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè.
Îïðåäåëåíèå 2. Îòîáðàæåíèå ôèãóðû, ïðè êîòîðîì êàæäîé åå òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî äàííîé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ îòðàæåíèåì ôèãóðû â ýòîé ïëîñêîñòè (èëè çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé).
Òåîðåìà 1. Îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ è, ñòàëî áûòü, ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Ñì. Äîêàçàòåëüñòâî 1.
Òåîðåìà 2. Äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè íåêîòîðîé ïëîñêîñòè íåïîäâèæíû, ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì â ýòîé ïëîñêîñòè èëè òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì.
Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê, íå ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè: ïëîñêîñòü ñèììåòðèè ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ýòè òî÷êè, ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåìó.
7. Ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé.
Äëÿ áîëåå ÷åòêîãî ïðåäñòàâëåí