На тему «Сложение колебаний» Студента I –го курса гр. 107 Шлыковича Сергея
Минск 2001 Векторная диаграмма Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой. Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол ?. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ?0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от —А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени. Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колебаний х1 и x2, которые определяются функциями , (1) Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:
Поэтому, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ?0, как и векторы А1 и А2, так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с частотой (?0, амплитудой A и начальной фазой ?. Используя теорему косинусов получаем, что (2) Также, из рисунка видно, что (3) Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях. Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ? по гармоническому закону, то (1) Где ex и eу — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины , (2) определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравнения следует, что (3) Соответственно (4) Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:
Подставим вместо cos ?t и sin?t их значения (3) и (4):
Преобразуем это уравнение
(5) Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз ?. Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев. 1. Разность фаз ? равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:
Отсюда получается уравнение прямой:
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ? и амплитудой, равной (рис. 1 а). 2. Разность фаз ? равна ±?. Из уравнение (5) имеет вид
Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 1 б) Рис.1 3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность. Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности. Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ? может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний: , (знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке). Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
Фигура Лиссажу для отношения частот 1:2 и разности фаз ?/2 Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз ?/2
