УДК 330.115
Кучма Г.В., научн. руков. ст. пр. Кучма Ю.В.
Определение оптимальной цены продажи при экспоненциальном спросе
Определена величина оптимальной цены продажи при экспоненциальном спросе. На примере построена функция экспоненциального спроса. Показано, что при определении оптимальной цены на товар, спрос на него можно считать экспоненциальным
Пусть EMBED Equation.3 – доля покупателей, имеющих для покупки данного товара в течение некоторого промежутка времени сумму денег EMBED Equation.3 . Положим, что каждый из EMBED Equation.3 покупателей приобретает одну единицу этого товара, когда его сумма денег EMBED Equation.3 , и не купит этот товар в случае EMBED Equation.3 . Тогда по цене EMBED Equation.3 за то же время будет продано EMBED Equation.3 единиц этого товара.
Замечание. При другом поведении покупателей соотношение между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 иное. Например, если покупатель при EMBED Equation.3 купит ровно EMBED Equation.3 единиц товара, тогда
EMBED Equation.2 (1)
Определим, что прибыль EMBED Equation.3 от продажи EMBED Equation.3 единиц товара в течение данного промежутка времени пропорциональна произведению количества проданного товара на разность между ценой EMBED Equation.3 и себестоимостью EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.2 (2)
где EMBED Equation.3 не зависит от EMBED Equation.3 и учитывает возможные издержки, скажем налог на прибыль.
Полагаем EMBED Equation.3 , так как EMBED Equation.3 – возможные постоянные издержки, влияющие на величину прибыли, но не на оптимальную цену EMBED Equation.3 , при которой прибыль максимальна. Будем считать, что для всех EMBED Equation.3 точно известна функция EMBED Equation.3 – кривая спроса. Величина EMBED Equation.3 в общем случае неотрицательная и не возрастает с ростом EMBED Equation.3 , а при указанном поведении покупателей пропорциональна EMBED Equation.3 .
Значение EMBED Equation.3 задает интенсивность (скорость) во времени числа продаж по данной цене EMBED Equation.3 . Если интенсивность постоянна, то за период, вдвое больший естественно ожидать и удвоение числа продаж.
Интенсивность может зависеть от времени года, суток и других факторов. Заметим, что EMBED Equation.3 задает скорость увеличения прибыли и оптимальная цена обеспечивает ее максимально возможную величину EMBED Equation.3 , необходимо найти максимум EMBED Equation.3 . Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема: Пусть имеются две функции действительной переменной EMBED Equation.3 : линейная EMBED Equation.3 и неотрицательная EMBED Equation.3 такие, что 1) EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - произвольные постоянные; 2) EMBED Equation.3 принимает неотрицательные значения при EMBED Equation.3 , а при EMBED Equation.3 удовлетворяет соотношению
EMBED Equation.2 (3)
с некоторыми постоянными EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Тогда функция EMBED Equation.3 достигает строгого глобального максимума на множестве всех действительных чисел в точке EMBED Equation.3 и справедливо равенство EMBED Equation.3
Если количество единиц товара EMBED Equation.3 которое потребители желают и имеют возможность купить по цене EMBED Equation.3 , подчиняется экспоненциальному закону, то есть уменьшается в EMBED Equation.3 раз при увеличении цены EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 не зависят от EMBED Equation.3 , а саму цену продавец может устанавливать произвольно, то теорема дает выражение для цены, при которой прибыль максимальна. При такой цене объем продаж EMBED Equation.3 составляет EMBED Equation.3 или 36.8 % от EMBED Equation.3 – возможного объема продаж при нулевой прибыли по цене равной себестоимости (рис. 1).
EMBED Word.Picture.6
Рисунок 1 Оптимальная цена продажи при экспоненциальном спросе.
Оценим EMBED Equation.3 – хвост функции распределения доходов равной отношению количества людей имеющих доход не менее EMBED Equation.3 грн., к числу всех рассматриваемых индивидов. Для каждого EMBED Equation.3 из таблицы 1 величина EMBED Equation.3 равна сумме всех процентов доходов, для которых EMBED Equation.3 , например при EMBED Equation.3  = 150 грн., EMBED Equation.3 .
На рис. 2 изображен график с точками, изображающий EMBED Equation.3 - функцию и экспоненциальный тренд аппроксимирующий эти точки.
Использование МНК для логарифмов от EMBED Equation.3 дало в классе многочленов от EMBED Equation.3 не выше третей степени следующее не возрастающее непрерывное приближение для наблюдаемых значений EMBED Equation.3 грн.
EMBED Equation.3
Таблица 1 – Распределение дохода в месяц жителей города Киев

Следовательно для хвоста EMBED Equation.3 функции распределения населения по величине среднедушевого дохода справедлив закон (3). А если величина спроса EMBED Equation.3 , то для EMBED Equation.3 также справедливо равенство (3).
EMBED MSGraph.Chart.5 \s
Рисунок 2 G(x) - хвост функции распределения доходов жителей города Киев осенью 1997 г.
Так же при оптимальной цене продажи товара более 150 грн. спрос на него можно считать строго экспоненциальным.
Литература
Брыскин В.В. Математические модели маркетинга. – Новосибирск: ВО "Наука", 1992. – 156 с.
Цацулин А.Н. Ценообразование в системе маркетинга – М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1997. – 296 с.