МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»


Є.С. Струк
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ УПРАВЛІННЯ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ
для студентів базового напрямку «Комп’ютерні науки»
спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»


Затверджено
на засіданні кафедри автоматизованих систем управління
протокол № 1 – 06/07 від 30.08.2006 р.





Львів – 2006

Струк Є.С. Теоретичні основи управління: Конспект лекцій для студентів базового напрямку «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи». – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2006. – 76 с.
Висвітлено базові положення теорії управління лінійних, нелінійних і дискретних систем. Значну увагу присвячено моделям динамічних систем. Подані традиційні методи опису – методи передатних функцій. Розглянуті питання аналізу і синтезу систем, стійкості і якості управління. Розкриті принципи побудови автоматичних і автоматизованих систем та принципи і закони управління.


Відповідальний за випуск Шпак З. Я., канд. техн. наук, доц.

Рецензент Ткаченко Р.О., д-р техн. наук, проф.



Зміст
Вступ 6
Розділ 1. Системи і управління 7
Основи управління 7
1.1.2. Загальна модель управління 7
Роль комп’ютерної техніки в управлінні процесами 8
1.2.1. Класифікація автоматизованих систем (за видом процесу) 8
1.2.2. Узагальнена модель комп’ютерного управління процесом 9
1.2.3. Об’єкти і процеси управління. Додатний і від’ємний зворотні зв’язки 10
1.2.4. Властивості процесів, що ускладнюють управління 10
1.2.5. Загальна схема управління за замкненим циклом 11
1.2.6. Функціональна схема управління 12
1.2.7. Загальна схема процесу управління АСУ 13
1.2.8. Приклад системи управління за розімкненим циклом (електромеханічна схема управління частотою обертання ? двигуна постійного струму) 15
Системи і управління 16
Характеристики і параметри систем 17
Поняття системи 17
Структуризація системи 18
Класифікація систем за складністю 19
Моделювання в управлінні 20
1.8.1. Модель 20
1.8.2. Види моделей 20
1.8.3. Перехід до створення математичної моделі 21
Спостережність і керованість 22
Структури організаційних систем 23
1.10.1. Лінійні структури 23
1.10.2. Функціональні структури 24
1.10.3. Матричні структури 24
Структури інформаційних систем 24
Задачі аналізу і синтезу системи 25
Оптимальне управління 26
Список літератури до розділу 1 27
Розділ 2. Лінійні динамічні системи 28
2.1. Математичне моделювання лінійних динамічних систем (ЛДС) 28
2.1.1. Приклади створення математичного опису моделі 29
2.2. Передатна функція 34
2.3. Правила спрощення структурних схем 34
2.4. Частотні характеристики 36
2.4.1. Шляхи побудови АФЧХ 37
2.5. Амплітудо-частотна характеристика (АЧХ) 39
2.6. Фазо-частотна характеристика (ФЧХ) 39
2.7. Особливості АФЧХ. Зв’язок між АФЧХ і перехідною функцією 39
2.8. АФЧХ при від’ємних частотах. Від’ємна АФЧХ. Обернена АФЧХ 40
2.9. Логарифмічна амплітудо-фазо-частотна характеристика (ЛАФЧХ) 40
2.10. Передатні функції типових ланок 41
2.11. Перехідні функції типових ланок 43
2.11.1. Перехідні характеристики типових ланок 43
2.12. Математичні моделі управляючих органів 45
2.12.1. Закони управління 45
2.13. Види управління 46
2.14. Ланки з відставанням та ланки з випередженням 47
2.15. Ланки з запізненням 47
2.15.1. Транспортне запізнення 48
2.16. Поняття стійкості. Стійкість лінійних динамічних систем 49
2.17. Критерії стійкості. 51
2.18. Частотні критерії стійкості 52
2.19. Області стійкості 55
2.19.1. Метод D-розбиття 55
2.20. Оцінка стійкості системи за її структурою 56
2.21. Стійкість систем при деяких комбінаціях окремих ланок 57
2.21.1. Стійкість інерційної ланки + ланки з запізненням 58
2.21.2. Комбінація інерційної і інтегруючої ланки 58
2.22. Якість управління в ЛДС 58
2.22.1. Побудова перехідних функцій систем управління частотним методом (метод зворотніх перетворень Лапласа) 59
2.22.2. Метод трапецій 59
2.22.3. Операторний метод (за допомогою розкладу Хевісайда) 59
2.23. Корекція лінійних динамічних систем 60
Список літератури до розділу 2 61
Розділ 3. Нелінійні системи управління 62
3.1. Типові нелінійності 62
3.2. Властивості нелінійних систем 63
3.3. Методи дослідження НДС 63
3.3.1. Метод фазових траєкторій 64
3.3.2. Фазові портрети систем 64
3.3.3. Особливі точки фазових траєкторій 64
3.4. Поняття стійкості за Ляпуновим 66
3.5. Розв’язок нелінійних динамічних систем (методом фазових траєкторій) 67
3.5.1. Метод гармонічного балансу 69
Список літератури до розділу 3 71
Розділ 4. Імпульсні дискретні системи управління 72
4.1. Дискретні системи управління 72
4.1.1. Переваги дискретних систем (ДС) управління 72
4.1.2. Математичний опис систем дискретного управління 72
4.2. Передатна функція імпульсних систем 74
4.3. Стійкість імпульсних систем 74
Список літератури до розділу 4 76








ВСТУП

Вивчення принципів управління – це захоплююча і творча діяльності. За своєю суттю теорія керування, як одна з гілок технічної кібернетики, є міждисциплінарним предметом, котрий має значне математичне підґрунтя і глибоко проникає в фізичні, хіміко-технічні, фізіологічні, економічні і тому подібні принципи побудови і функціонування різних об’єктів і систем в природі і в суспільстві.
Успішне вивчення курсу “Теоретичні основи управління” можливе після ґрунтовного засвоєння теорії функцій комплексної змінної, методів диференціального та інтегрального числення, методів розв’язку лінійних диференціальних рівнянь, основ лінійної алгебри і теорії матриць. Крім того курс побудований так, що необхідно бути ознайомленим з загальними принципами моделювання і з такими програмними продуктами як MATLAB, Simulink або Mathcad.
Обсяг курсу розрахований на один семестр. В ньому представлені тільки основні чотири розділи:
I розділ – “Системи і управління” – де розглядаються принципи, види, способи управління, класифікації, характеристики систем.
II розділ – присвячено “Лінійним динамічним системам” (ЛДС). Дослідження ЛДС здійснюється в основному в частотній області (області оператора р).
В третьому розділі описуються методи дослідження “нелінійних динамічних систем управління”. З значної різноманітності методів дослідження нелінійних систем ґрунтовно подаються тільки два: метод фазових траєкторій та метод гармонічного балансу.
Четвертий розділ присвячено дискретним системам управління (ДСУ). Дослідження дискретного перетворення Лапласа (z-площини).
Конспектовний характер викладу лекцій з “ТОУ”, які читалися на кафедрі “Автоматизованих систем управління” на протязі 2002-2006 років не передбачає обмеження у користуванні іншими підручниками і посібниками, котрі подаються після кожного з розділів.


Розділ 1. Системи і управління
1.1. Основи управління

Управління – це будь-який цілеспрямований процес при наявній інформації:
U=F(A,I) , де
А – бажаний стан (рух, процес)
І – інформація
U – управління (управляюча дія)
Розрізняють автоматичне і автоматизоване управління.
Автоматичне управління передбачає мати в колі зворотнього зв’язку тільки технічні засоби.
Автоматизоване управління передбачає у колах зворотнього зв’язку наявність не тільки технічних засобів, але і людини (оператора) (рис. 1.1).
1.1.1. Загальна модель управління
Звор. зв’язок
1.Техн.засоби
2.Техн.зас+людина
ОУ
Зовнішнє середовище
F
Xвх(t)
Xвих(t)




ОУ – об’єкт управління
Xвх(t) – вхідна дія
Xвих(t) – вихідна дія
Рис. 1.1 F – збурюючі дії від впливу зовнішнього середовища, котрі намагаються вивести ОУ з заданого (бажаного) стану
При розв’язанні складних задач, якщо недостатньо лише технічних засобів, то використовуються технічні засоби і людина (для прийняття рішень).
Задача управління об’єктом зводиться до того, щоб вибрати необхідні вхідні дії Х EMBED Equation.3 (t), котрі при будь-яких збурюючих діях F забезпечували б задане значення вихідної величини Х EMBED Equation.3 (t).
У системах автоматичного регулювання (САР) підтримується вихідна величина на одному заданому рівні (рис. 1.2). У системах автоматичного управління (САУ) вихідна величина залежить від часу (рис. 1.3).

Xвих(t)
t
0
const
САР: САУ:
Xвих(t)
t
0


Рис. 1.2. Рис. 1.3.
Автоматичне і автоматизоване управління базується на загальних принципах і методах.
Автоматизоване управління використовується в складних великих системах, елементи яких значно важче описувати формалізовано, ніж елементи автоматичних систем.
Під кібернетикою розуміють специфічний науково-методичний напрямок дослідження управління в процесах, системах різного рівня і складності, включаючи технічні, організаційно-технологічні, біологічні і соціально-економічні, які об’єднані наявністю мети, а також функцій керування.
Цей напрямок має такі дисципліни:
а). Теорія інформації;
б). Теорія автоматів;
в). Теорія автоматичного управління;
г). Теорія розпізнавання образів.
Питаннями структурної організації систем великої складності та стохастичної поведінки з різноманітними взаємозв’язками займається системотехніка.
1.2. Роль комп’ютерної техніки в управлінні процесами
Умови, які спричинили розвиток і впровадження АСУ:
Розвиток промисловості, номенклатури товарів.
Збільшення зв’язків, кооперація між підприємствами.
Ріст необхідних математичних досліджень.
Швидка змінність виробів.
1.2.1. Класифікація автоматизованих систем (за видом процесу)
Різноманітність автоматизованих систем управління може бути класифікованою за видом процесу управління (рис. 1.4).
АСУ
САПР
АСНД
АСУОТ
АСОУ
АСУТП
АСН
АСУІ
Рис. 1.4.
АСУТП – автоматизовані системи управління технологічними процесами
АСОУ – автоматизовані системи організаційного управління
АСУОТ – автоматизовані системи управління організаційно-технологічні
САПР – системи автоматизованого проектування
АСНД – науково-дослідні автоматизовані системи
АСН – навчальні автоматизовані системи
АСУІ – автоматизовані системи управління інформацією
1.2.2. Узагальнена модель комп’ютерного управління процесом
Фізичним процесом називаємо послідовну зміну станів об’єктів фізичного світу.
Німецький стандарт DIN дає більш точне визначення фізичного процесу: “комбінація зв’язаних подій в системі, в результаті яких змінюється, переміщується чи запасається енергія, матерія чи інформація”.
Технічний процес визначається як процес, фізичні змінні якого можна виміряти і змінити технічними засобами.
Різниця між фізичним і технічним процесом в тому, що фізичний процес необов’язково повинен керуватись зовні. Технічний процес включає обробку інформації для досягнення заданої цільової функції (мети).
Інформація – найважливіший компонент управління процесами, оскільки вона дозволяє краще використовувати дві інші складові процесу: матерію і енергію.
Узагальнена модель комп’ютерного управління процесами зображена на рис. 1.5.
Фізичний / техніч-ний процес
ЕОМ ( комп’ютер )
Зовнішнє середовище
Збурення
Ввід інформації
Вивід інформації
Ввід сировини
Ввід енергії
Вивід продукції
Вивід енергії
Рис. 1.5.


1.2.3. Об’єкти і процеси управління. Додатний і від’ємний зворотні зв’язки
В теорії управління структура, зображена на рис. 1.6 є елементарною (фундаментальною) ланкою.
Збурення
ОУ
УО
F
Вхідна дія
Xвх(t)
Вихідна дія
Xвих(t)
Управляюча дія
Зворотний зв’язок



Рис. 1.6.
Частина систем, в яких здійснюється фізичний чи технічний процес, називається об’єктом управління (ОУ), а коло зворотнього зв’язку (ЕОМ, комп’ютер) називається управляючим органом (УО).
Для простоти будемо розглядати об’єкти управління (ОУ), які характеризуються однією змінною Xвх, однією змінною Хвих та локалізованою збурюючою дією F.
Зворотний зв’язок передбачає управління за замкненим циклом.
1.2.4. Властивості процесів, котрі ускладнюють управління
Рівень складності системи управління визначається в першу чергу, властивостями керованого процесу.
Серед багатьох характерних особливостей процесів, котрі ускладнюють управління, найбільше впливають:
нелінійність процесу;
змінне зовнішнє середовище;
зміна умов самого процесу;
значні часові затримки (запізнення);
внутрішні зв’язки процесу.
Запізнення сигналів чи наявність зон нечутливості (мертвих зон) є серйозною проблемою для керування. Через те, що регулятор функціонує на основі застарілих даних, тому він може видавати хибні (фальшиві) команди.
Якщо сигнал від мікрофону поступає з затримкою, більшою ніж 0,2÷0,4 с, то ви швидко збиваєтесь і перестаєте розмовляти. Цей приклад наочно демонструє нестійкість, що виникла через затримку в часі.
Регулятор в системі з часовими затримками повинен “пам’ятати” старі (попередні) керуючі дії.
Врахування внутрішніх взаємозв’язків додає багато складності в модель процесу, якщо навіть він в своїй основі простий. Прикладом цього може служити задача регулювання температури в кімнатах будинку. Якщо вікно відчиняється в одній з кімнат, то температура змінюється не тільки локально, але і в деякій мірі в сусідніх кімнатах.
ОУ
Модель системи з внутрішніми зв’язками зображена на рис. 1.7:

вхідні сигнали вихідні сигнали


Рис. 1.7.
1.2.5. Загальна схема управління за замкненим циклом
Загальна схема управління за замкненим циклом зображена на рис. 1.8:
?
Р
ОУ
З.З.
Хвх
Хр
Хоу
Хвих
Хзз
F (збурення)



Рис. 1.8.
При керуванні за замкненим циклом зміни вихідної величини передаються на вхід системи за допомогою сукупності пристроїв, які називаються зворотним зв’язком.
? - суматор
Р – регулятор
Для забезпечення управління по замкненому циклу необхідно забезпечити умову:
Хр=Хвх-Хз.з /1/
Віднімання здійснюється на суматорі, використовуючи його інверсний вхід.
Якщо система працює за виразом /1/, то вона називається із від’ємним зворотним зв’язком, тобто від вхідної дії віднімається частина вихідної дії.
Стабіізуючу властивість від’ємного зворотного зв’язку можна проілюструвати таким чином. Нехай Хвих в деякий момент часу більше від Хзад (заданого значення), тобто Хвих зросло:
Хвих ^ Хз.з ^ Хр v Хоу v Хвих v
якщо Хвих зменшилось:
Хвих v Хз.з v Хр ^ Хоу ^ Хвих ^
Від’ємний зворотний зв’язок утримує (стабілізує) вихідну дію біля заданого значення.
Хр=Хвх+Хз.з /2/
Додатний зворотний зв’язок /2/ може бути лише локальним, оскільки глобальний додатний зворотний зв’язок приводить до нестійкості системи.
Глобальний зворотний зв’язок здійснюється з виходу на вхід цілої системи.
Додатний зворотний зв’язок часто використовують в системі з метою корекції тих чи інших параметрів (амплітуди, фази, частотних залежностей і т.ін.).
Якщо Хвих збільшується, то збільшується і Хз.з..
У випадку глобального додатнього зворотнього зв’язку збільшується Хвих:
Хвих ^ Хз.з ^ Хр ^ Хоу ^ Хвих ^
якщо Хвих зменшилось:
Хвих v Хз.з v Хр v Хоу v Хвих v
Вихідна величина не утримується біля заданого значення.
Зворотний зв’язок
Гучномовець
Мікрофон
Підсилювач

Рис. 1.9.
Додатний глобальний зворотний зв’язок, зображений на рис. 1.9, через пружне середовище, призводить до автоколивань. Невдале розміщення аудіоапаратури. Система стає нестійкою.
1.2.6. Функціональна схема управління
УЕ
?I
КП
?II
ВЕ
ОУ
ГЗЗ
ЛЗЗ
Хвх
Хвих
–
–
+
Функціональна схема управління зображена на рис. 1.10:
Рис. 1.10.
УЕ – управляючий елемент
? – суматор
КП – послідовний коректуючий пристрій
– підсилювач
ВЕ – виконуючий елемент
ОУ – об’єкт управління
Л.З.З – локальний зворотний зв’язок
Г.З.З. – глобальний зворотний зв’язок
Ланка EMBED Equation.3 – – ВЕ –Л.З.З – може вважатися паралельним коректуючим пристроєм.
Глобальний зворотній зв’язок включає в себе декілька конструктивних елементів, серед яких найбільш типові: перетворювачі, давачі, які призначені для перетворення однієї величини в іншу, найбільш зручну для управляючого сигналу.
Перетворювачами можуть бути: трансформатори, випрямлячі, інвертори, індуктивні елементи, давачі температури, тиску, частоти обертання. Послідовні і паралельні коректуючі пристрої (КП) забезпечують необхідні закони управління.
Підсилювачі призначені для підсилення управляючої дії.
Виконуючі елементи призначені для приведення в дію регулюючих органів об’єкту управління, від положення яких залежать значення керованих величин.
1.2.7. Загальна схема процесу управління АСУ
Зовнішнє середовище
Інформація про зовнішнє середовище
Об’єкт (процес управління)
Інформація про об’єкт
ЕОМ
Обробка інформації
Реалізація рішень
Аналіз результатів обробки інформації
і прийняття рішень
F
Хвих
Рис. 1.11.
Схема, зображена на рис. 1.11, відноситься до складних систем.
Розглянемо, як приклад, проблему прогнозування землетрусів з цільовою функцією забезпечення життєдіяльності населення в сейсмоактивних районах, зображену на рис. 1.12:
Прогнозування землетрусу
місце
сила
час
Рис. 1.12.
Потрібно встановити автоматизовані системи сейсмічного спостереження, реєстрації і аналізу трьох компонентів вектора зміщень грунту.
Д – давачі-перетворювачі переміщення-напруга.
АЦП – аналого-цифрові перетворювачі
Цифрові реєстратори сейсмічних подій зображені на рис. 1.13:
Д
П
АЦП
Д
П
АЦП
Д
П
АЦП
ЕОМ
Аналіз за певними моделями
Рис. 1.13.
2. Прогностичними факторами можуть бути:
а). Періодичність
б). За мікросейсмічним шумом (амплітудою і частотою) можна судити про можливість наступного землетрусу (Амплітуда такого шуму перед землетрусом зменшується).
в). За співвідношенням Vp/Vs, де
Vp – швидкість поширення повздовжньої хвилі
Vs – швидкість поширення поперечної хвилі
Додаткові фактори:
г). Зовнішні: гравітаційні, геомагнітні, електромагнітні, рівень підземних вод, деформографічні.
В цій проблемі реалізація рішень означає:
Евакуацію населення
Відключення комунікацій

1.2.8. Приклад системи управління за розімкненим циклом
(електромеханічна схема управління частотою обертання ? двигуна постійного струму)
UГ
UТГ
ПД
Г
Д
РМ
ОЗД
ТГ
Індикатор
?с, Мс
Приклад системи управління за розімкненим циклом зображено на рис. 1.14
Розімкнений цикл (контур)
Uзб
R
n
ОЗГ
•
Об’єкт управління
Хвх
U
Хвих
?с

Рис. 1.14. Uп=Uзб
Об’єктом управління є двигун постійного струму. Вхідна величина – напруга, вихідна величина – кругова частота.
ПД – привідний двигун.
РМ – робоча машина.
ТГ – тахогенератор – перетворює швидкість обертання в напругу.
І – індикатор напруги.
Електродвигун приводить до обертання вал РМ. З валом електродвигуна жорстко зв’язаний ТГ. Електродвигун під’єднаний до генератора постійного струму напругою U, який обертається за допомогою привідного двигуна ПД.
Обмотка збудження генератора ввімкнена через потенціометр R на джерело постійної напруги. Переміщуючи повзунець n реостату R і контролюючи частоту обертання валу ? за показами індикатора, можна керувати частотою обертання валу за заданим законом.
Приклад системи за замкненим циклом зображено на рис. 1.15:
Замкнутий цикл (контур)
UТГ
UT
Uзб
R
ПД
Г
Д
РМ
ТГ
?с, Мс
ОЗГ

Un
UT
ОЗД



Un – UТГ
Рис. 1.15.
Необхідно забезпечити умови від’ємного зворотного зв’язку.
Uзб.г. =Uп-Uтг /1/
Xр=Xвх-Xз.з.
Виконання умови /1/ забезпечує утворення в системі головного від’ємного зворотнього зв’язку і можливість регулювання вихідної величини ?. При збільшенні навантаження на валу Д, частота його обертання зменшується, що призводить до зменшення напруги на ТГ і збільшення напруги збудження генератора. Збільшення Uзб збільшує частоту обертання валу.
Системи і управління
“В майбутньому наука буде концентруватися
більше навколо проблем організації, струк-
тури, мови і управління і менше навколо
проблем сили, руху, речовини, реакції,
роботи та енергії”
Дж. фон Нейман
Системами займається така наука, як системологія. Ми будемо розглядати систему з точки зору управління.
індивід
клітка молекула
атом
людство
суспільство
спільнота
колектив
людина
біосфера
біо
популяція
стадо
комплекс
ЕОМ
машина
знаряддя

Рис. 1.16.
Ієрархічна впорядкованість світу, зображена на рис. 1.16, дозволяє збагнути його різноманітність.
1.4. Характеристики і параметри систем
Емпірично встановлено, що класи систем вказаних ієрархій зі збільшенням їх рівня мають наступні закономірності.
Різноманітність
З ростом ієрархії зростає.
Поширеність N
Число однотипних систем даного виду чи типу в заданому просторі з ростом ієрархії зменшується. Для вищих випадків біологічних чи технічних ієрархій поширеність різноманітних систем вироджується в одиничні екземпляри.
Складність ?
Визначається числом n елементів і m зв’язків між ними.
Стійкість
Здатність системи протидіяти зовнішнім збурюючим діям для самозбереження. Від неї залежить тривалість життя системи, а від тривалості життя – її поширеність.
Є 2 форми стійкості:
для фізичних і простих технічних систем це консервативна речовинно-енергетична стійкість в межах системи, котра пов’язана з міцністю і збалансованістю.
для складних систем – це динамічна структурна стійкість, котра зберігається безперервною заміною елементів цих систем.
Стійкість фізичних систем з ієрархією зменшується, а біологічних – зростає з ростом складності. Це пояснюється неадитивністю частини і всієї системи, яка зумовлена енерджентністю її властивостей.
Емерджентність
Емерджентність – ступінь неподібності або незводимості властивостей системи до властивостей окремих елементів, з яких вона складається. Емерджентність зростає в фізико-біологічній ієрархії до рівня індивіду.
Неідентичність
Ступінь відмінності систем одного і того ж типу чи виду з ієрархією зростає.
Термін “система” має багато значень, але в нашому контексті під системою розуміється будь-який об’єкт, який розглядається з одного боку як єдине ціле, а з другого – як сукупність зв’язаних між собою певним чином складових.
Декомпозиція – розкладання на частини.
Агрегація – зворотнє до декомпозиції.
1.5. Поняття системи
Приклад декомпозиції системи зображено на рис. 1.17:
n
n - 1
n - 2
Рівень ієрархії
Рис. 1.17.
Поняття “системи” можна характеризувати наступним чином:
Поняття “системи” дозволяє простіше інтерпретувати призначення складної структури, що складається із взаємодіючих одна з однією частин.
Описуючи систему, її можна по-різному розбити на складові частини. Кожна з частин, в свою чергу, може бути розбита на більш дрібні складові. Важливо правильно вибрати рівень деталізації.
Як правило, немає необхідності знати внутрішні механізми елементу для того, щоб передбачити поведінку системи в цілому, достатньо знати перетворення “вхід” – “вихід” (принцип “чорної скриньки”).
Метою системи є отримати результат якісно чи кількісно більший від простої суми результатів окремих її компонентів. Об’єднання в систему додає “дещо більше”, що і пояснює її призначення. Це “дещо більше” визначається не наявністю тих чи інших компонентів системи, а, скоріш за все, їх взаємодією (принцип синергізму). Приклад – лікарські набори трав, їх вплив на організм людини.
1.6. Структуризація системи
t
X
X
0
Питання визначення внутрішньої структури та питання границь системи є важливим питанням при аналізі чи синтезі систем. Тут важливо визначити сильні і слабкі зв’язки. На рис. 1.18 зображене графічне зображення двох процесів Х і Y.

t
0
Y
Y
Рис. 1.18.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - відхилення по X
EMBED Equation.3 - відхилення по Y
EMBED Equation.3 - взаємокореляційна функція
R може набувати значення від 0 до 1.
Якщо R=0 – система немає зв’язків – система слабко структурована.
Якщо R=1 – система детермінована або сильно структурована.
Якщо R?(0÷0,5] – система з слабкими зв’язками.
Якщо R?[0,5÷1) – система з сильними зв’язками.
1.7. Класифікація систем за складністю
Проста система – кількість елементів =10...103
Складна система – кількість елементів =104...107
Ультраскладна система – кількість елементів =108...1030
Суперскладна система – кількість елементів =1031...10200
Якщо систему можна описати тільки одним математичним апаратом, то вона буде відноситися до простих. Чим більше математичних апаратів необхідно застосувати для опису – тим складніша система.
Проста система – система, яка не має розгалуженої структури.
Складна система – система з розгалуженою структурою і значною кількістю взаємозв’язаних елементів, які, в свою чергу, є простими системами.
Велика система – складна система, яка має такі ознаки:
Наявність виділених складових (підсистем), які мають своє призначення, що підпорядковане загальному призначенню.
Наявність великої кількості різноманітних зв’язків між підсистемами і всередині кожної з підсистем.
Наявність зовнішніх зв’язків з іншими підсистемами, системами.
Наявність у системі елементів самоорганізації.
Участь у функціонуванні системи людей, машин та природнього середовища.
1.8. Моделювання в управлінні
ОУ
Хівх
Хівих
ОУ
З.З.
Моделювання в управлінні зображене на рис. 1.19:


Рис. 1.19.
Закон кібернетики: Складність управляючого органу ?у.о. повинна бути не меншою, ніж складність об’єкту управління ?о.у. .
Для оптимального управління системою на кожне відхилення (стан) повинна бути відповідна управляюча дія (реакція).
?=nm
1.8.1. Модель
Прямо управляти складними системами за рахунок великої складності дуже важко, тому здійснюють управління через моделі ?моделі<?системи .
Модель – спрощене представлення системи. Модель створюється для того, щоб проаналізувати систему. Модель полегшує оцінку змісту системи і прогнозування її розвитку, тому ОУ представляють у вигляді моделей. Модель може бути занадто спрощена, оптимальна або переускладнена. Степінь адекватності моделі управління здійснюється шляхом експериментів.
1.8.2. Види моделей
Статична модель – це модель, яка зв’язує вихідну величину з вхідною незалежно від часу. Статична модель зображена на рис. 1.20:
Статична модель Динамічна модель
Вольт-амперна характеристика діода
t
Хвх/Хвих
0
t1
t2
t3
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
Хвх
Хвх
0
Хвих
I
U


Рис. 1.20. Рис. 1.21.
Динамічна модель, зображена на рис. 1.21, пов’язує зміну вихідної величини в часі відносно зміни вхідної величини в часі.
Неформалізовані моделі можуть бути здійснені в довільній формі. Вони створюються за допомогою тестування.
Математичні моделі – це моделі, в яких чітко визначена математична залежність типу: y=f(x).
1.8.3. Перехід до створення математичної моделі
Параметризація моделі – визначають параметри, якими можна описати систему.
Встановлення залежностей між параметрами всередині системи і навколишнім середовищем.
Виявлення характерних особливостей цих залежностей і згуртування їх в задачі.
Моделі розв’язують два типи задач:
Задачі прямого рахунку – допомагають швидше розв’язати задачу і прийняти рішення.
Оптимізаційні, багатоваріантні задачі, які зводяться до знаходження найкращого вирішення і підтримки цього найкращого вирішення в управлінні.
Будь-яка стратегія управління базується на певному розумінні того, як фізичний процес реагує на вхідний сигнал.
На відміну від науки, де метою моделювання є глибоке вникнення в суть системи, модель в інженерному розумінні вважається адекватною, якщо всі відповідні процеси управління працюють в передбачуваному режимі, тобто є стійкий вихід з малими відхиленнями від заданого значення.
Розрізняють такі типи моделей:
Безперервний в часі (аналоговий) опис.
Система описується лінійними чи нелінійними диференційними рівняннями балансу маси, енергії чи сил.
В багатьох випадках нелінійні рівняння можна лінеаризувати і тим самим спростити роботу з ними.
Дискретний в часі опис.
Фізичні властивості описуються лінійними чи нелінійними різницевими рівняннями. Такий підхід означає, що інформація про систему доступна тільки в певні дискретні моменти часу. Цей тип опису в дійсності майже неминучий при цифровому керуванні, оскільки комп’ютери, які базуються на найбільш поширеній архітектурі фон Неймана, виконують інструкції послідовно.
Моделі систем, що грунтуються на дискретних подіях чи послідовності подій.
При такому описі вхідні та вихідні величини системи дискретні в часі і є бінарними сигналами типу: “включено-виключено”. Багато систем управління послідовністю можна описати як систему черг і моделювати марківськими ланками чи марківськими процесами.
Моделі систем з невизначеністю.
Як на самі системи управління, так і на вимірювання часто впливають небажані шуми і збурення. В одних випадках збурення і неповні знання про фізичний процес можна інтерпретувати статистично. В інших – фактори невизначеності замість кількісних характеристик можна описувати лінгвістичними і логічними виразами типу “якщо-то інакше” (експертні системи).
Ще один спосіб опису невизначеності систем – нечітка алгебра (fuzzy).
Не зовсім вірним є твердження, що процес можна вичерпно описати тільки одною моделлю. В дійсності правильно навпаки.
Найбільш правильною є найпростіша модель з можливих моделей, але така, що забезпечує управління об’єктом, котре задовольняє заданому критерію якості.
1.9. Спостережність і керованість
Існують два основні способи розробки моделей:
на основі фізичних принципів
на основі експериментальних даних (результатів вимірювання)
Якщо дані вимірювань використовуються в контексті знань про систему управління, то можна розрахувати значення, які не вдається виміряти. Процедура розрахунку чи оцінки значень змінних є наслідком однієї з основних характеристик системи, яка називається спостережністю.
Спостережність – це оцінка того, чи дає наявний набір вимірювання адекватну інформацію про систему.
Керованість показує, чи достатньо параметрів системи, на котру можуть впливати виконуючі механізми для управління процесом необхідним чином.
Система називається керованою, якщо можна підібрати такі значення U, щоб система досягла заданого значення Х.
Тільки тоді, коли система керована, її полюси (власні числа) можна вільно переміщувати за допомогою зворотнього зв’язку.
Якщо процес некерований – це означає, що частини системи фізично від’єднані від управляючих (керуючих) сигналів U.
Змінні стану системи:
EMBED Equation.3
...
...
EMBED Equation.3
В матричній формі:
EMBED Equation.3
Управляючі сигнали впливають на кожну змінну окремо. В керованій системі всі елементи матриці ? ненульові. В іншому випадку змінні стану, що відповідають нульовим елементам матриці В, не можуть регулюватися сигналом управління. Значення таких змінних будуть визначатися тільки властивостями системи.
Треба добре розуміти фізичний процес інженеру. Наприклад, часто буває так, що параметри погано керовані, тобто значення ?i малі. Система формально керована, а реальний регулятор для практичного використання створити неможливо.
Якщо ж система працювала задовільно, то при автоматизації (комп’ютеризації) робота системи покращиться. Якщо система працювала незадовільно, то після автоматизації вона працювати не буде.
1.10. Структури організаційних систем
Структури реальних систем надзвичайно різноманітні, але всю множину відомих ієрархій можна розділити на 3 основні типи, залежно від видів зв’язків між елементами:
лінійна;
функціональна (лінійно-функціональна);
матрична.
1.10.1. Лінійні структури
При лінійній структурі кожний елемент має тільки одного начальника, зв’язки лінійні. Така структура передбачає чітке розділення повноважень і обов’язків елемента.
Недоліки: складність координації між елементами, оскільки на першому ступені вищий елемент повинен бути компетентним у всіх питаннях роботи нижчого. Лінійна структура, зображена на рис. 1.22, використовується в системах з порівняно простими функціями елементів.
Елемент А
Елемент В1
Елемент В2
Елемент С22
Елемент С21
Елемент С12
Елемент С11
Упр.
Інф.
Рис. 1.22:
1.10.2. Функціональні структури
В функціональній структурі передбачена спеціалізація.
Недоліки: невирішена проблема координації, оскільки кожен нижчий елемент отримує команди від кількох керівників і тому не завжди можна визначити порядок їх виконання. В міру ускладнення управління виникають нові функціональні підслужби, і виконавці отримують ще більшу кількість керівників, що призводить до дезорганізації.
1.10.3. Матричні структури
Матричні структури зображено на рис. 1.23:
Кабінет
міністрів
ФЕ1III
ФЕ2III
ФЕ3III
ФЕ3II
ФЕ2II
ФЕ1II
ФЕ3I
ФЕ2I
ФЕ1I
Міністерства
Галузеві.управл.
Ген. директор
Х0
ХI
ХII
ХIII
Лінійні зв’язки
Функціональні зв’язки
Рис. 1.23.
Кожний функціональний елемент знаходиться в подвійному підпорядкуванні. Матрична структура передбачає наявність підрозділів і досить широко застосовується на підприємствах і в наукових установах.
1.11. Структури інформаційних систем
Структури інформаційних схем – це структури, по яким передається інформація.
Х1
Х2
Х3
Хn
…
Послідовні структури
Переваги: простота
Недоліки: мала швидкодія, велика можливість помилкової інформації.
Паралельні структури
Х1
Х2
Х3
Хn
…
Інформація надходить одночасно.
Кільцеві структури
Х1
Х2
Х3
Х4
При кільцевій структурі швидкодія, порівняно з послідовною, в два рази більша. Ймовірність спотворень – менша.
Багатозв’язна інформаційна структура
Х1
Х2
Х3
Х4
Кожен елемент зв’язаний з кожним. Максимальна швидкість передачі інформації.
Х1
Х2
Х4
Х3
Х5
Структура типу “колесо”
Характеризується великою швидкістю передачі інформації.
1.12. Задачі аналізу і синтезу системи
При розв’язку технічних (динамічних) систем може бути поставлена задача аналізу або синтезу.
Аналіз системи передбачає визначення зв’язку між входом і виходом (наприклад, у виді алгебраїчного чи диференціального рівняння), а також знаходження опосередкованих показників якості системи (швидкодії, точночті).
При розв’язуванні задач аналізу відома структура всієї системи і параметри об’єкта управління. Завдання розробки системи управління зводиться до визначення параметрів управляючого органу або регулятора, який би забезпечував задані статичні і динамічні показники системи управління.
Задача синтезу полягає в визначенні структури системи, її параметрів, за заданою метою управління (цільовою функцією). Як правило, синтез систем зводиться до синтезу управляючого органу, тому що структура і параметри ОУ відомі.
1.13. Оптимальне управління
Оптимальним називається управління, яке здійснюється найкращим чином за певним показником.
Системи, що реалізують оптимальне управління називаються оптимальними.
Організація оптимального управління грунтується на виявленні і реалізаціі граничних можливостей системи. Одним із найважливіших кроків є формулювання критерію оптимальності, під яким розуміється основний показник, що визначає задачу оптимізації. У якості критерію оптимізації виступають різні технічні чи техніко-економічні показники, які виражають технічну чи економічну вигоду (втрати).
Узагальнений критерій якості роботи лінійних динамічних систем можна зобразити у вигляді функціоналу якості чи ефективності:
EMBED Equation.3 , де
С – вартість
К – якість функціонування
Н – надійність
Р – споживана потужність
М – маса
V – об’єм чи габарити
Оптимізувати функціонал EMBED Equation.3 по всім параметрам одночасно неможливо.
EMBED Equation.3
U=(u1,u2,…,un)
X=(x1,x2,…,xn)
F=(f1,f2,…,fn)
Критерій оптимальності за швидкодією
EMBED Equation.3
Критерій оптимальності за точністю
EMBED Equation.3
?X
Xзад
T
0
t
Оптимальність по умовах незалежності (інваріантності) від збурень
EMBED Equation.3
fі – збурення
Х EMBED Equation.3 – змінна, для якої необхідно забезпечити незалежність від збурення fі(t),
? – приріст часу
Оптимальність за споживаною потужністю
EMBED Equation.3
В залежності від реалізованого критерію системи розрізняють на:
системи, оптимальні за швидкодією;
системи, оптимальні за точністю;
системи, оптимальні за інваріантністю від збурень;
системи, оптимальні за споживаною потужністю.




Список літератури до розділу 1:
Густав Олсон, Джангуидо Пиани Цифровые системы автоматизации и управления. – СПб.: Невский Диалект, 2001. – 557с.
Куропаткин П.В. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высшая школа, 1980. – 287с.
Петренко А.И. Основы автоматизации проектирования. – К.: Техника, 1982. – 293с.
Розділ 2. Лінійні динамічні системи
2.1. Математичне моделювання лінійних динамічних систем (ЛДС)
Лінійними називаються системи, котрі в статиці і в динаміці описуються лінійними рівняннями.
Для ЛДС притаманний принцип суперпозиції, який полягає в тому, що реакція системи на сукупність сил та збурень визначається сумою реакцій на кожну силу чи збурення, що прикладаються до системи.
Реальні системи, особливо складні, є суттєво нелінійними. До лінійного опису можна звести незначний клас систем, але і в цьому випадку властивості реальних систем тільки наближено виражаються лінійними моделями.
Хвих
Хвих
Хвх
Хвх
0
0



Рис. 2.1. Рис. 2.2
Незважаючи на обмеження лінійних моделей, їх роль у ТОУ дуже велика. Це пояснюється тим, що припущення про лінійність системи в ряді випадків не призводить до недопустимих помилок, а з іншого боку суттєво спрощує дослідження системи. Ілюстрація способів лінеаризації приведена на рис. 2.1 і рис. 2.2.
Методи дослідження реальних нелінійних систем (НС) в значній мірі базуються на методах дослідження ЛДС, наприклад – метод гармонічного балансу.
Лінійна теорія управління дозволяє вивчати лінійні моделі реальних процесів і об’єктів, а не самі процеси і об’єкти.
Будь-яку ЛДС можна представити у вигляді сукупності наступних типових структурних ланок:
аперіодичної
коливної
інтегруючої
диференціюючої
консервативної
ланки з запізненням
Кожна з типових ланок достатньо повно характеризується формою диференційних рівнянь, видом передатної і перехідної функції.
Типовою ланкою називається ланка, яка описується інтегро-диференційними рівняннями не вище другого порядку. На рис. 2.3 зображено декомпозицію системи 6-го порядку на типові ланки.
6 го
2 го
2 го
2 го
Хвх
Хвх
Хвих
Хвих
I
II
III




Рис. 2.3.
ЛДС в загальному випадку описується диференційним рівнянням n-го порядку:
EMBED Equation.3 /1/ -
рівняння руху системи
Вихідна дія ? вхідна дія
Т0...Тn , k0…km - параметри налаштування системи
2.1.1. Приклади створення математичного опису моделі
Приклад 1.
Складання рівняння руху електричної схеми, зображеної на рис. 2.4.
i
R1
R2
C
Uвх(t)
Uвих(t)
•
•
Uвх(t) – вхідна дія
Uвих(t) – вихідна дія
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 2.4.
Диференціюємо і переміщаємо у рівнянні вихідні змінні вліво, вхідні – вправо.
EMBED Equation.3
Коефіцієнт при нульовій похідній в лівій частині рівняння має бути рівним 1. Отже, домножуємо на СR1.
EMBED Equation.3
Позначимо EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Тоді
EMBED Equation.3 - рівняння руху системи
або EMBED Equation.3
Приклад 2.
Складання рівняння руху електричної схеми, зображеної на рис. 2.5, і знаходження передатної функції (W(p)).
Характерним для ОП є високий коефіцієнт підсилення по напрузі k=104…106 , отже U0?0.
Rзз
i1
EMBED Equation.3 - високе приймемо EMBED Equation.3 = ?
C
i2
?
?
R
?
?
i3
i
ОП
U0
Uвих (t)
Uвх (t)


Рис. 2.5.
Складаємо рівняння руху системи:
EMBED Equation.3 /1/-/4/, EMBED Equation.3 =0, бо EMBED Equation.3 операційного підсилювача >?
З рівняння /1/: EMBED Equation.3 , бо EMBED Equation.3
З рівняння /2/: EMBED Equation.3 , бо EMBED Equation.3
З рівняння /3/: EMBED Equation.3
З рівняння /4/: EMBED Equation.3 /*Rз.з.
EMBED Equation.3 – рівняння руху системи (5)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - коефіцієнт підсилення
Знак “–” в рівнянні (5) означає, що вихідна напруга зсунута за фазою -? (180?), як зображено на рис. 2.6.
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
Uвх
Uвих
t
t
Рис. 2.6.
або
EMBED Equation.3
Зображення рівняння руху системи в операторній формі:
EMBED Equation.3
Передатна функція:
EMBED Equation.3
Приклад 3.
Складання рівняння руху електро-механічної системи і знаходження передатної функції, поданої на рис. 2.7.
l
R
U
Xвх
c
b
X1
Xвих
K
•
//////////////////////////////////////////



Рис. 2.7.
Тиск повітря на клапан К є вхідною величиною. Вихідною величиною є напруга, яка знімається з потенціометра R. При зміні тиску змінюється сила, яка прикладена до штоку поршня, внаслідок чого переміщується зв’язаний з ним повзунець потенціометра R. Переміщення X1 залежить від сил, які діють на поршень.

Складаємо балансове рівняння:
aХвх-bX1- EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
m – маса поршня і зв’язаних з ним деталей
EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +bX1=aХвх /1/
EMBED Equation.3 /2/
Підставляємо в /1/ співвідношення /2/ і домножуємо ліву і праву частину на коефіцієнт так, щоб при EMBED Equation.3 була 1.
EMBED Equation.3
Введемо позначення:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 /3/ – рівняння руху системи
Зображення рівняння руху системи в операторній формі:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
В деяких випадках зручніше визначити передатну функцію ланки (системи), а потім з неї записати рівняння руху системи (приклад 4,5).
Приклад 4.
Знаходження W(p) мостової електричної схеми, зображеної на рис. 2.8.
Вхідна дія – напруга на вході EMBED Equation.3
Вихідна дія – напруга на другій діагоналі EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
?
?
?
?
(t)
(t)
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 2.8.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
де T=RC – постійна часу
Приклад 5
Знаходження передатної функції електричної схеми, зображеної на рис. 2.9.
?
?
?
?
v
v
>
(t)
(t)
?
?
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 2.9.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (t)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (t)
?
?
Z EMBED Equation.3
Z EMBED Equation.3
?
?
EMBED Equation.3
EMBED Visio.Drawing.6
Z EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
.
Z EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ||R EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Тоді
.
.
W(p)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
де k= EMBED Equation.3 , T= EMBED Equation.3
2.2. Передатна функція
Передатною функцією називається відношення перетвореної за Лапласом вихідної дії до перетвореної за Лапласом вхідної дії при нульових умовах і відсутності збурень.
Нульові початкові умови означають не тільки рівність f(t)=0 при t=0, але й нульові умови у всіх похідних до (n-1) включно, де n – порядок системи.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - зображення рівняння руху системи в Лапласівській формі,
де EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
З іншого боку р=j?, де ?=2?f – кутова частота, а EMBED Equation.3 .
2.3. Правила спрощення структурних схем
Часто буває так, що реальна система (чи модель системи) зображається сукупністю зв’язаних між собою передатних функцій, які утворюють складну структурну схему.
При задачі аналізу виникає потреба знаходження результуючої передатної функції, тобто спрощення структурної схеми.
Приклад 1.
Спрощення структурної схеми, зображеної на рис. 2.10, до виду, зображеного на рис. 2.11.
Wp(p)
Xвх(p)
Xвих(p)
W1(p)
W2(p)
W3(p)
W4(p)
W5(p)
Xвх(p)
Xвих(p)
–
•
+
(–)


Рис. 2.10. Рис. 2.11
Послідовне з’єднання:
W1
W2
W1W2
Xвх
Xвх
Xвих
Xвих
X1

W1
W2
Xвх
Xвих
W1+W2
Xвх
Xвих
Паралельне з’єднання:
Зворотній зв’язок:
Xвх
Xвих
EMBED Mathcad
–
W1
W2
+
–
Xвх
Xвих

W1
W1
W1
?
?
Переміщення вузла проти проходження сигналу:

W1
W1
EMBED Mathcad
Переміщення вузла за проходженням сигналу:
Якщо вузол переноситься проти напрямку проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити всі елементи з передатними функціями, які зустрічаються між старим і новим вузлом.
Якщо вузол переноситься за напрямком проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити всі елементи з оберненими передатними функціями, які зустрічаються між старим і новим вузлом.
+
W1
W1
W1
+
Переміщення точки сумування за проходженням сигналу:
Переміщення точки сумування проти проходження сигналу:
W1
+
+
W1
EMBED Mathcad
Якщо точка сумувань переноситься за напрямком проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити передатні функції всіх елементів, які зустрічаються на шляху між старою і новою точками сумування.
Якщо точка сумувань переноситься проти напрямку проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити елементи з оберненими передатними функціями всіх елементів, які зустрічаються на шляху між старою і новою точками сумування.
Результуюча передатна функція структурної схеми, зображеної на рис. 2.10, використовуючи правила 1-3, буде мати вид
EMBED Equation.3
2.4. Частотні характеристики
Розрізняють 4 типи частотних характеристик:
АФЧХ – амплітудо-фазо-частотна характеристика.
АЧХ - амплітудо-частотна характеристика.
ФЧХ - фазо-частотна характеристика.
ЛАФЧХ – логарифмічна амплітудо-фазо-частотна характеристика.
Оскільки більшість задач можна розв’язати в частотній області, наприклад, оцінити стійкість системи, визначити запас стійкості, розрахувати коректуючі елементи і т. ін., то повернення в часову область (зворотнє перетворення Лапласа) може не здійснюватись.
Амплітудо-фазо-частотна характеристика – це геометричне місце кінців вектора передатної функції при зміні частоти від 0 до +?.
2.4.1. Шляхи побудови АФЧХ
Розрізняють 2 шляхи побудови АФЧХ:
Експериментальний шлях побудови АФЧХ
а). Змінюючи частоту 0<?<? визначаємо модуль коефіцієнта передачі
EMBED Equation.3
Хвих, Хвх – амплітудні значення дій.
б). Вимірюємо фазову характеристику ???? при зміні частоти 0<?<?.
в). АФЧХ будується на комплексній площині. На промені кута ? відкладаємо відповідне значення модуля |W(?)|.
W(?)=Re(?)+Im(?)=a(?)+jb(?) – рівняння руху системи 3-го порядку.
Графік побудови АФЧХ експериментальним шляхом зображено на рис. 2.12.
?1
?2
? ? ?
? ? 0
a(?)
jb(?)
|w EMBED Equation.3 |
|w EMBED Equation.3 |
?
?
?

?





Рис. 2.12.
Теоретичний шлях побудови АФЧХ
а). Необхідно мати рівняння руху системи
C(p)Xвих(p)=B(p)Xвх(p)
EMBED Equation.3
B(p)=(k0+k1p+…+kmpm)
б). Знаходимо передатну функцію
EMBED Equation.3
в). Замінюючи р=j?, знаходимо:
W(?)=a(?)+jb(?)
г). Змінюючи ? від 0 до ? на комплексній площині будуємо графік АФЧХ (W(?))
Графік побудови АФЧХ теоретичним шляхом зображений на рис. 2.13.
jb(?)
a(?)
а(0)
?
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
-----
-----------
-
-
-
-
-
-
-
¦
¦
----------------------- --

-
-
-
-
-
-
-
?
?

?





Рис. 2.13.
Приклад:
Побудова АФЧХ теоретичним шляхом для системи 2-го порядку.
EMBED Equation.3 - рівняння руху системи
EMBED Equation.3 - лапласівське зображення рівняння руху системи

? - коефіцієнт загасання
EMBED Equation.3
Замість р підставляємо j?:
EMBED Equation.3
Домножуємо чисельник і знаменник на спряжений вираз: EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
АФЧХ будується, підставляючи ? від 0 до ? в вирази дійсної а(?) і уявної b(?).
Кількість квадрантів, які займає годограф передатної функції, рівна порядку системи (рис. 2.14).

a(?)
jb(?)
0
? = 1/T
w=0
w
?
Aa
?
Aa
?
Aa


Рис. 2.14.
2.5. Амплітудо-частотна характеристика (АЧХ)
a(?)
jb(?)
?
0
А
?
A
0
|W(?)|
?
Амплітудо-частотною характеристикою називається залежність модуля передатної функції від частоти, при зміні частоти від 0 до ?. АЧХ зображена на рис. 2.15 як модуль від АФЧХ рис. 2.16.
Рис. 2.15. Рис. 2.16.
EMBED Equation.3
2.6. Фазо-частотна характеристика (ФЧХ)
0
?(?)
?
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
Фазо-частотною характеристикою називається залежність фазового зсуву між вихідною та вхідною дією при гармонічному вхідному сигналі. Приклад ФЧХ зображено на рис. 2.17:
Рис. 2.17.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Будувати АЧХ та ФЧХ по осі абсцис бажано в однаковому масштабі.
2.7. Особливості АФЧХ. Зв’язок між АФЧХ і перехідною функцією
Границя, до якої прямує функція при t?? рівна значенню АФЧХ при ?=0.
Значення перехідної функції при t=0 рівня граничному значенню АФЧХ при ???.
Якщо перехідна функція при t=0 має певну швидкість зміни EMBED Equation.3 , то АФЧХ при ??? прямує до EMBED Equation.3 , (р=j?), як до границі, отже наближається до початку координат, рухаючись вертикально знизу вверх.
Якщо перехідна функція починається при t=0 з горизонтальної дотичної і має певне прискорення EMBED Equation.3 =d, то АФЧХ при ??? прямує до EMBED Equation.3 як до границі і наближається до початку координат, рухаючись горизонтально зліва направо.
2.8. АФЧХ при від’ємних частотах. Від’ємна АФЧХ. Обернена АФЧХ
jb(?)
a(?)
W(-?)
АФЧХ на від’ємних частотах є дзеркальним відображенням на додатних частотах.
jb(?)
a(?)
x
-x
0
W(?)=a(?)+jb(?)
-W(?)=-a(?)-jb(?)
Кожне значення АФЧХ розвернуте на ? (180 EMBED Equation.3 ) відносно початку координат (рис.).
jb(?)
a(?)
0
?
?
EMBED Equation.3
Від’ємна АФЧХ та обернена АФЧХ використовуються в методі гармонічного балансу для дослідження нелінійних систем управління (рис.).
2.9. Логарифмічна амплітудо-фазо-частотна характеристика (ЛАФЧХ)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Зручніше користуватись десятковим логарифмом і будувати окремо логарифмічно-амплітудну і фазову характеристики.
EMBED Equation.3 – одиниці вимірювання дБ (децибел)
1 Бел представляє собою логарифмічну одиницю, що відповідає десятикратному збільшенню потужності.
0
?(?)
?
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
?
L(?), дБ
20
-20
10
1
10
100
1000
10000
(рад/с)
(рад/с)
ДБ – 1/10 частина Бела. Оскільки модуль W(?) є відношення вхідних і вихідних величин, а не потужностей, то збільшення цього відношення в 10 разів відповідає збільшенню потужності в 100 разів, що відповідає 2 Бел або 20 дБ.
Рис. 2.18.
Особливість логарифмічної характеристики, зображеної на рис. 2.18, полягає в тому, що вона відображається сукупністю відрізків прямої.
2.10. Передатні функції типових ланок
Типовою ланкою називається ланка, яка описується диференційним рівнянням не вище другого порядку.
Пропорційна ланка
Хвих(t)=kХвх(t)
Хвих(p)=kХвх(p)
W(p)=k
k>1 – підсилювач
k<1 – подільник
Інерційна ланка (аперіодична 1-го порядку)
R1
C1
Uвх
Uвих
•
•
EMBED Equation.3
(Tp+1)Uвих(р)=kUвх(р)
EMBED Equation.3
R1
R2
C1
C2
Uвх
Uвих
•
•
•
•
Аперіодична ланка 2-го порядку
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
iвх
Uвих EMBED Equation.3
С
•
•
Інтегруюча ланка
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Диференціююча ланка
Uвх
Uвих
С
R
•
•
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
m
b
тертя
Коливна ланка
EMBED Equation.3
?

?
b – пружина
? - затухання (загасання) – степінь зменшення вільних коливань (0????)
R
L
C
Uвх EMBED Equation.3
Uвих EMBED Equation.3
•
•
•
•
L
?
?

7. Консервативна ланка
Консервативною ланкою можна вважати частковий випадок коливної при ?=0
EMBED Equation.3
Прикладами консервативних ланок можуть бути маятники в вакуумі; ідеальні коливальні (LC) контури і т.п.

2.11. Перехідні функції типових ланок
h(t)
W(p)
Xвх
Xвих
X EMBED Equation.3 = 1(t)
t
0
1
Перехідна функція – перехідний процес на виході ланки, якщо на вході діє одинична ступінчата функція.

1(t) = EMBED Equation.3

Рис. 2.20.
Одинична ступінчата функція, зображена на рис. 2.20, має розмірність таку, як і вхідна величина.
2.11.1. Перехідні характеристики типових ланок
Пропорційна ланка
t
t
Xвх
Xвих
0
0
1(t)
k*1(t)
h(t)
1
W(p)=k
EMBED Equation.3
Аперіодична 1-го порядкуT
t
t
Xвх
Xвих
0
0
k
1(t)

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Аперіодична ланка 2-го порядку
EMBED Equation.3
Запишемо таку ланку як добуток двох аперіодичних ланок першого порядку.
t
t
Xвх
Xвих
0
0
1(t)
k
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Інтегруюча ланка
h(t)
t
0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
h(t)
t
0
Диференціююча ланка
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

Коливна ланка
EMBED Equation.3
? - затухання (згасання) – степінь зменшення вільних коливань (0????)
?/?
?/?
?/?
A1
A2
h(t)
0
t
t
0
1(t)
EMBED Equation.3 , де
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Консервативна ланка
t
0
h(t)
1
2
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2.12. Математичні моделі управляючих органів
За рахунок збурення, в системі управління, маємо відхилення від заданого значення. Задача полягає в тому, щоб підібрати таку функцію управляючого органу, щоб в результаті відхилення EMBED Equation.3 .
2.12.1. Закони управління
Пропорційний закон управління
EMBED Equation.3
Вихідна величина є пропорційною до відхилення
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Інтегральний закон управління за відхиленням
EMBED Equation.3
Диференціальний закон управління за відхиленням
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Диференціальний закон управління в чистому вигляді не використовується, оскільки він може регулювати тільки у змінах, а в статиці таким законом керувати неможливо.
Комбінований пропорційно-диференціальний закон
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Пропорційно-інтегруючий закон
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Пропорційно-інтегрально-диференціюючий закон
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Закони управління вказують на те, яким чином відхилення вихідної величини передаються на вхід системи.
Метою є спрямування відхилення до нуля.
2.13. Види управління
Розрізняють 3 види управління:
Управління за відхиленням
Управління за збуренням
Комбіноване (за збуренням і за відхиленням)
Управління за відхиленням – управління, при якому відхилення вихідної величини ?x перетворюється в управляючу дію, яка передається на об’єкт управління і направлена таким чином, щоб зменшити відхилення вихідної величини ?x від заданого значення.
Перевага: Здійснюється врахування всіх збурень, діючих на будь-які елементи системи, тому що управляюча дія формується в залежності від кінцевого результату. В даному випадку не цікаво, яке збурення привело до відхилення вихідної величини.
Недолік: зниження швидкодії системи, оскільки компенсації відбуваються лише після того, як збурення перетворилося елементами системи і вплинуло на X EMBED Equation.3 .
Система допускає мати відхилення і по ньому регулювати.
Управління по збуренню
В системі вимірюється збурююча дія (навантаження) і результат вимірювання перетворюється в управляючу дію.
Перевага: висока швидкодія, оскільки система реагує на зміни збурення до того, як ці зміни вплинули на вихідний результат.
Недолік: складність вимірювання збурень, чутливість не до всіх збурень, а тільки до окремих, до яких здійснюється настроювання.
Система управління за збуренням може допускати більш високу точність управління за рахунок відсутності відхилень ?х на виході.
Комбіноване управління передбачає управління як за збуренням, так і за відхиленням. Збурення, які не вдається виміряти в комбінованій системі керуються за відхиленням, а ті, які вдається керуються за збуренням.
2.14. Ланки з відставанням та ланки з випередженням
Ланка з відставанням – така ланка, в якій вихідна величина при синусоїдальній вхідній величині відстає за фазою на кут ? (рис. 2.21).
?
t
Xвх
Xвих
0
EMBED Equation.3 частини
Рис. 2.21.
?<0 – відставання
До ланок з відставанням відносяться інтегруючі ланки та аперіодичні ланки 1-го і 2-го порядку.
?/2 - випередження
-?/2 - відставання
jb(?)
a(?)
0
Знаменник передатної функції визначає відставання вихідної величини відносно вхідної.
EMBED Equation.3
Ланки з випередженням – це ланки, у яких вихідна дія при синусоідальній вхідній дії випереджує на кут ? (рис. 2.22).
До таких ланок відноситься диференціююча ланка.
Чисельник передатної функції визначає випередження. Рис. 2.22.
EMBED Equation.3

2.15. Ланки з запізненням
?з
Xвх
Xвих
Часовий зсув ланки з запізненням зображений на рис. 2.23:
Рис. 2.23.

2.15.1. Транспортне запізнення
EMBED Equation.3
A
B
…
Uвх
Uвих
L
L
L
L
C
C
C
C
Хвх
v
?
?
Хвих


Рис. 2.24. Транспортне Рис. 2.25. Довга лінія як ланка з запізненням.
запізнення
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Введемо змінну EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
АФЧХ ланки з запізненням зображена на рис. 2.26.
jb(?)
a(?)
0
k??з
2??з
k(?/2)?з
k(3?/2)?з
?
1
1
?

?


Рис. 2.26.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ланки, які мають чисте запізнення зустрічаються дуже рідко. Частіше вони зустрічаються в поєднанні з ланками, що вносять відставання чи випередження.
АФЧХ ланки з запізненням + (відставання чи випередження) на високих частотах перетворюється в спіраль, що охоплює початок координат.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
W1
W2
Ланка з запізненням + ланка з відставанням
1
1(t)
?з
t
t
Xвх
Xвих
jb(?)
a(?)
1
0
?=0
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

jb(?)
a(?)
1
0
?=0
Ланка з запізненням + інтегруюча ланка
1
1(t)
t
Xвх
Xвих
?з
t
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

W1
W2
Ланка з запізненням + диференціююча ланка
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
?з
t
1
1(t)
t
Xвх
Xвих
1
jb(?)
a(?)
0
?=0
EMBED Equation.3

2.16. Поняття стійкості. Стійкість лінійних динамічних систем
Стійкість – здатність системи повертатись в стан рівноваги після припинення дії вимушуючих сил (вхідна дія, збурення).
Стійкість нас цікавить тому, що нестійкі системи – непрацездатні. Невеличкі збурення виводять їх з планової траєкторії, до якої вони ніколи не зможуть повернутися.
Стійкість – внутрішня властивість системи, яка не залежить від величини вхідної дії чи від величини збурення.
A0
A1
A2
Для великих систем ця характеристика вироджується в надійність чи живучість.
Стійка система – оцінка стійкості не залежить від А1, А2 і т.д.

Система нестійка
A0
A1
A2

A0
A1
r ? ? - стан байдужої рівноваги.
EMBED Equation.3 – рівняння руху системи
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - характеристичне рівняння
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - для оцінки стійкості знаменник передатної функції необхідно прирівняти до нуля.
Загальний розв’язок характеристичного рівняння має вигляд:
EMBED Equation.3 , де
с1,с2,с3,...,сn – постійні інтергування
p1,p2,p3,...,pn – корені характеристичного рівняння.
Корені характеристичного рівняння можуть мати такі випадки:
Всі дійсні додатні – система нестійка, процес розходиться
x
x
x
x
x
x
x
0
Im pi
Re pi
Межа стійкості
Якщо хоча б один корінь додатній - система нестійка.
2. Всі дійсні від’ємні - система стійка
Якщо всі корені від’ємні - система стійка.
3. Комплексні корені
Для стійкої системи дійсні частини комплексних коренів повинні бути від’ємними (лежати в лівій площині) (рис. 2.27).
Рис. 2.27.
2.17. Критерії стійкості
Розрізняють 2 групи критеріїв стійкості:
? алгебраїчні
? частотні
До алгебраїчних відносять:
? Критерій Вишнєградського
? Критерій Рауса
? Критерій Гурвіца
Всі вони грунтуються на тому, що корені pi лежать в лівій півплошині, але про ці корені (стійкість системи) судять за коефіцієнтами поліному - характеристичного рівняння.
Частотні критерії базуються на аналізі ходу АФЧХ або характеристичного рівняння при 0? ? ? ?. До них відносять:
Критерій Михайлова – для розімкнутих систем управління
Критерій Найквіста – для замкнутих систем управління
Логарифмічний критерій – для замкнутих систем управління
1. Критерій Вишнєградського
Цей критерій використовується для систем не вище третього порядку.
Якщо різниця добутків середніх і крайніх коефіцієнтів поліному (характеристичного рівняння) більше від нуля і кожен з коефіцієнтів є додатним, то система стійка.
x
x
x
x
x
x
x
0
Im pi
Re pi
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- система стійка
EMBED Equation.3 - система на межі стійкості
EMBED Equation.3 - система нестійка

2. Критерій Рауса
Критерій Рауса застосовується для систем будь-якого порядку.
На базі коефіцієнтів характеристичного рівняння складається таблиця Рауса Bre, де r – номер рядка, е – номер стовпця за таким правилом: елементи першого рядка – парні індекси, елементи другого рядка – непарні індекси.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ...
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ...
Для знаходження решти елементів таблиці використовується таке співвідношення:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Система буде стійкою, якщо перший стовпець таблиці буде додатнім.
Метод зручний для ЕОМ.
Критерій Гурвіца
Для оцінки стійкості системи будується матриця Гурвіца з коефіцієнтами характеристичного рівняння.
По діагоналі заповнюємо таблицю, починаючи з a1. У верхній половині вписуємо коефіцієнти, які зростають, а нижче діагоналі – з індексами, що спадають.
Для того, щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі визначники матриці Гурвіца були додатні.
1. EMBED Equation.3 (характеристичне рівняння)
a0>0 ?1=a0>0
2. EMBED Equation.3(характеристичне рівняння)
a0>0 ?1=a1>0
3. EMBED Equation.3 (характеристичне рівняння)
EMBED Equation.3
4. EMBED Equation.3 (характеристичне рівняння)
EMBED Equation.3
Недоліком критерію Гурвіца є складність обчислень для визначників високого порядку.
2.18. Частотні критерії стійкості
Критерій Михайлова (Кремера-Леонарда)
Випливає з наявності лівих коренів характеристичного рівняння.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Відокремлюючи дійсну і уявну частину, поліном D(p) приводимо до виду:
D(p)=a(?)+jb(?)
EMBED Equation.3 – парні степені
EMBED Equation.3 – непарні степені
Геометричне місце точок кінця вектора D(j?) при зміні частоти 0<?<? називається годографом Михайлова.
Динамічна система, що описується лінійним диференційним рівнянням n-го порядку стійка, якщо при зміні частоти від 0 до ? годограф Михайлова послідовно проходить в напрямку проти годинникової стрілки n квадрантів комплексної площини і не перетворюється в 0.

jb(?)
a(?)
0
I
II
III
IV
Годограф системи на межі стійкості
a(?)
jb(?)
0
I
II
III
IV
Годограф нестійкої системи
jb(?)
0
I
II
III
IV
Годограф стійкіої системи
V порядку
ІІІ порядку



Критерій Михайлова, зображений на рисунку, використовується для розімкнених систем управління.
Два наступних критерія, а саме – критерій стійкості Найквіста та логарифмічний критерій стійкості використовуються для оцінки на стійкість замкнутих систем управління.
Критерій Найквіста
Xвх
Xвих
W(p)
Xвх
Xвих
-1
Критерій Найквіста дає можливість оцінити стійкість замкнутих систем за стійкістю розімкнених систем.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 – для розімкненої системи
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 – рівняння вільного руху чи характеристичне рівняння для замкнутої системи управління
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - передатна функція зворотного зв’язку
EMBED Equation.3
нестійка
0
-1
Запас стійкості
стійка
a(?)
jb(?)

?
Якщо лінійна динамічна система (ЛДС) в розімкнутому стані стійка, то вона стійка і в замкнутому стані при умові, що її АФЧХ при зміні частоти від 0 до ? не охоплює на комплексній площині точку з координатами (-1; j0) (рис. 2.28).


Рис. 2.28.

Більш загальне визначення (для систем другого роду):
0
-1
a(?)
jb(?)
ЛДС, стійка в розімкненому стані є стійкою і в замкненому стані, якщо при зміні частоти від 0 до ? різниця між числом додатніх переходів годографа АФЧХ розімкнутої системи через ділянку (-1; -? ) і числом від’ємних переходів рівна нулю (рис. 2.29).
Рис. 2.29.
Логарифмічний критерій стійкості
Логарифмічний критерій стійкості використовується для замкнутих систем управління.
Логарифмічний критерій часто використовується при розрахунку коректуючих елементів.
ЛДС стійка в розімкнутому стані буде стійка і в замкнутому стані, якщо в діапазоні частот, де L(?)>0 значення фази ????>-?.
0
0
-?
L(?),
дБ
?(?)
?
?
?
?зрізу
?
0
0
-?
L(?),
дБ
?(?)
?
?
?зрізу
?
0
0
-?
L(?),
дБ
?(?)
?
?
?
?зрізу
?



а) б) в)
а). Стійка система
б). Система на межі стійкості
в). Система нестійка
? – запас стійкості за фазою
?
?
1
-1
a(?)
jb(?)
стійка система
система на межі стійкості
нестійка система
?
?
Відображення випадків а), б) та в) логарифмічного критерію в годографі критерію Найквіста зображено на рис. 2.30.


Рис.2. 30.
2.19. Області стійкості
Під областю стійкості розуміють діапазони можливих змін параметрів налаштування (Tnn,T0,k) при яких система залишається стійкою.
Для визначення області стійкості систем 3-го порядку використовують діаграму Вишнєградського.
Для систем будь-якого порядку визначають стійкість за допомогою загального методу D-розбиття.
2.19.1. Метод D-розбиття
Виділення областей стійкості в площині параметрів ЛДС, яка описується диференційним рівнянням n-го порядку здійснюється на базі загального методу D-розбиття.
Для систем будь-якого порядку зручно використовувати критерій стійкості Михайлова. Коливній границі стійкості відповідає рівність нулю характеристичного комплекса D(j?) =0 (рис. 2.31).
a(?)
стійка система
нестійка система
?
0
jb(?)
D(j?) =a(?)+jb(?)=0



Рис. 2.31.
D-розбиття
Нехай 2 параметри А,В входять лінійно в характеристичний комплекс А?(Т); В?(К)
EMBED Equation.3
? – має значення чисто уявного кореня, або частоту гармонічних коливань в системі.
Повна сукупність всіх кривих в площині параметрів, що розбиває всю площину на області з пeвним розподілом коренів називається D-розбиття.
Приклад:
Розглянемо систему, у якої характеристичне рівняння має вигляд:
EMBED Equation.3
Побудувати область стійкості в площині параметрів Т EMBED Equation.3 і К.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 – дійсна частина
EMBED Equation.3 – уявна частина
Шукаємо коливну границю:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Таблиця визначення межі стійкості
для параметрів К i T EMBED Equation.3 Рис. Визначення області стійких
процесів для параметрів K i T EMBED Equation.3
Правило штриховки.
Для нанесення штриховки знаходять знак визначника:
EMBED Equation.3 /1/ EMBED Equation.3 /2/
Шукаємо EMBED Equation.3 /3/
?=-?3Т2
Для частот від -? до 0 визначник додатний, тому при русі знизу вверх штрихуємо область зліва від кривої.
Область праворуч – область параметрів стійких процесів
2.20. Оцінка стійкості системи за її структурою
1
p
K
Tp+1
1
p
Xвх
Xвих
Якщо система має таку структуру, що неможливо забезпечити стійкість при будь-якій зміні параметрів, то така система називається структурно нестійка (рис. 2.32).
EMBED Equation.3
[С(р)+В(р)]?xвих=0 Рис. 2.32.
С(р)+В(р)=0
p2(Tp+1)+k=Tp3+p2+k=0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
K1
Tgp
Вводимо диференціюючу ланку для корекції (рис. 2.33):
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Рис. 2.33.
B(p)+С (p)=0 – характеристичне рівняння для замкненої системи
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 – умова стійкості за Вишнєградським
Звідси ми можемо знайти співвідношення параметрів налаштування.
K EMBED Equation.3
T2p+1
Xвх
Xвих
K EMBED Equation.3
T1p+1
2.21. Стійкість систем при деяких комбінаціях окремих ланок
a(?)
jb(?)
0
? ? ?
?=0
?


Рис. Годограф замкненої системи
2-го порядку
При будь-яких параметрах T1,T2,k1,k2 система буде стійкою.
EMBED Equation.3
K EMBED Equation.3
T2p+1
Xвх
Xвих
K EMBED Equation.3
T1p+1
K EMBED Equation.3
T3p+1

Коли ми застосуємо критерій Вишнєградського, то отримаємо, що коефіцієнт
a(?)
jb(?)
? ? ?
?=0
0
-1
k<k EMBED Equation.3
k=k EMBED Equation.3
k>k EMBED Equation.3
?
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Стійка система k<kкр
На межі стійкості k=kкр (рис. 2.34)
3. Нестійка система k>kкр Рис.2.34.
K
T2p+1
Xвх
Xвих
K
T1p+1
K
T3p+1
e-p?з
2.21.1. Стійкість інерційної ланки + ланка з запізненням
?
?
??
1
a(?)
jb(?)
0
?
?
В даному випадку система зменшила стійкість (стала нестійкою) за рахунок фазового запізнення ??.
Запізнення зменшує стійкість системи (рис. 2.35).
Рис. 2.35.
2.21.2. Комбінація інерційної і інтегруючої ланки
a(?)
jb(?)
0
a(?)
jb(?)
0
a(?)
jb(?)
0
=
*
?




Рис. 2.36.
Введення інтегруючої ланки зменшує запас стійкості.
Введення диференціюючої ланки збільшує запас стійкості. Введення будь-якої ланки з відставанням зменшує запас стійкості, з випередженням – збільшує (рис. 2.36).
2.22. Якість управління в ЛДС
Під якістю управління розуміють характер перехідного процесу в системі, який виник через управляючі або збурюючі дії.
Якщо система не задовільняє необхідним показникам якості управління, то в неї вводять додаткові елементи – коректуючі пристрої, які, не порушуючи основного призначення системи, забезпечують необхідну якість управління.
Оцінки якості управління можуть бути:
Посередні (непрямі) – дозволяють отримати деякі параметри перехідного процесу, наприклад встановити принциповий характер (стійкий-нестійкий).
До посередніх оцінок відносять кореневі, інтегральні та частотні.
Кореневі – полягають в наявності зв’язку між формою h(t) і характером розподілу на комплексній площині коренів характеристичного рівняння.
Інтегральні – найбільш зручні для порівняльної оцінки.
Частотні – базуються на зв’язку між формою h(t) і дійсною частиною частотної характеристики.
Ці методи дозволяють приблизно нарисувати криву перехідного процесу не розв’язуючи диференційних рівнянь.
Прямі
Пряма оцінка може бути отримана тільки після побудови залежності h(t) чи хвих(t) .
Побудова перехідних функцій систем управління частотним методом (метод зворотніх перетворень Лапласа)
Зв’язок h(t) замкненої системи управління з дійсною частиною АФЧХ a(?).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - від дійсної частини
Аналогічним чином знаходять реакцію системи на одиничний стрибок, використовуючи уявну частину b(?).
EMBED Equation.3 - від уявної частини
2.22.2. Метод трапецій
Метод трапецій полягає у розбитті a(?) на ряд трапецій, кожна з трапецій буде мати розв’язок EMBED Equation.3 і в результаті сумувань реакцій від кожної трапеції отримуємо загальне h(t), яке є сумою реакцій ряду трапецій.
EMBED Equation.3
Для ЛДС це справедливо, оскільки їм притаманний принцип суперпозиції.
Даний метод є застарілим (табличним), тому використовується рідко.
2.22.3. Операторний метод (за допомогою розкладу Хевісайда)
Для знаходження h(t) необхідно знати корені знаменника передатної функції або так звані полюси (нулі знаменника).
Полюсом передатної функції є корені, коли знаменник рівний нулю.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Вираз дозволяє побудувати перехідний процес в ЛДС при одиничній вхідній дії.
Операторний метод незручний для побудови перехідних процесів систем великого порядку. Найбільш ефективно цей метод застосовується тоді, коли маємо наявність коренів, а самої АФЧХ нема.
2.23. Корекція ЛДС
Може статися, що система (стійка або нестійка) не задовільняє вимогам динаміки, тобто є такою, що не забезпечує необхідних форм перехідних процесів. В таких випадках система доповнюється спеціальними коректуючими пристроями (КП). КП розрізняють послідовні і паралельні.
Паралельні КП є місцевими зворотніми зв’язками, які можуть бути як додатніми, так і від’ємними.
Визначення математичних моделей КП базується на використанні бажаних логарифмічних амплітудно-частотних характеристик Lбаж(?). Lбаж(?) відповідає ЛДС і повністю задовільняє вимогам до динамічних режимів.
Найбільший вплив на динаміку створює форма Lбаж(?) в області частоти зрізу.
Розіб’ємо діапазон частот Lбаж(?) на 3 частини (рис. 2.37):
20 lg K
?1
?2
?3
?зр
?
A
B
C
D
40 дБ/дек
20 дБ/дек
60 дБ/дек
L, дБ
0
0<?<?1 – низькі частоти
?2<?<?3 – середні частоти
?3<? – високі частоти
Побудова Lбаж(?) починається з вибору ?зрізу, яке прямо зв’язано з швидкодією системи. Менші значення ?зрізу відповідають меншій швидкодії.
Рис. 2.37.
Аналіз систем, які мають високі динамічні якості вказує, що ЛАЧХ таких систем повинна мати в районі частоти зрізу нахил в районі 20 дБ/дек.
Характеристика правіше точки D залишається такою, як у початковій системі.
Wпоч
Wкп
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Отже, для визначення логарифмічної характеристики коректую чого поліному, необхідно здійснити віднімання від значень L(w) EMBED Equation.3 значень L(w) EMBED Equation.3
Список літератури до розділу 2:
Попович М.Г., Ковальчук О.В. Теорія оатоматичного керування. – К., 1997.
Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем. Учеб. пособие для вузов. – СПб.: БХВ – Петербург, 2001. – 640с.
Валюх О.А., Максимів В.М. Елементи теорії автоматичного керування. Лінійні системи неперервної дії. Навч. посібник. – Львів: Афіша, 2001. – 124с.
Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. – СПб.: Питер, 2005 – 336с.








Розділ 3. Нелінійні системи управління
Нелінійними називаються системи, які містять нелінійний елемент, тобто такі, у яких відношення “вхід-вихід” описується нелінійними рівняннями.
Строго кажучи, всі елементи є нелінійні, тому лінійні методи аналізу і синтезу лінійних систем не можуть використовуватись.
В цілому теорія НДС є більш складної і менш розробленою. Це пояснюється великою різноманітністю типів нелінійних систем. Велике коло нелінійних систем містить нелінійні елементи з типовими нелінійностями.
Нелінійні елементи у яких EMBED Equation.3 однакова при зростанні і спаданні хвх називаються нелінійностями з однозначними статичними характеристиками. /рис. а, б/
0
Хвих
Хвх
0
Хвих
Хвх
a
0
Хвих
Хвх
в)
б)
a)
Нелінійні елементи у яких при зростанні хвх одна залежність, а при спаданні – інша, називаються нелінійностями з неоднозначними статичними характеристиками /рис.б/.
3.1. Типові нелінійності
Обмеження (насичення)
0
Хвих
Хвх
K
B
– B
arctg B/K
Аналітичний вираз
а). -В, EMBED Equation.3
б). kxвх, EMBED Equation.3
в). В, EMBED Equation.3
Нечутливість
0
Хвих
Хвх
a
а). хвих=0 при EMBED Equation.3
б). хвих=-ka+kxвх при EMBED Equation.3
в). хвих=ka-kxвх при EMBED Equation.3
Релейна
0
Хвих
Хвх
B
B
а). хвих=-В при EMBED Equation.3
б). хвих=В при EMBED Equation.3
0
Хвих
Хвх
arctg k
a
“Гістерезис”
а). хвих=-ka+kxвх при EMBED Equation.3
б). хвих=ka-kxвх при EMBED Equation.3
в). EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3
3.2. Властивості нелінійних систем
Характер можливих рухів в нелінійних системах (НС) більш широкий, ніж в лінійних. В лінійних системах рух може бути або такий, що сходиться, або такий, що розходиться (рис. 3.1).
Існування стійких коливань в ЛДС недопустиме, оскільки це означає знаходження системи на межі стійкості. Такий режим роботи в ЛДС практично неможливий.
В НС можливі стійкі коливання при відсутності зовнішніх періодичних збурень – такі рухи називаються автоколиваннями, а системи називаються автоколивальні.
Амплітуда і частота автоколивань визначається параметрами системи. В одній НС можуть бути кілька режимів автоколивань.
Природа виникнення автоколивань в НС зв’язана з тим, що коефіцієнт підсилення НС на різних ділянках статичної характеристики різний, що зумовлює автоматичний перехід від рухів, що розходяться до рухів, що сходяться і навпаки (рис. 3.2).
Зміна Кпідс
0
Kкр
K
Хвих
Нестійкі процеси
0
Kкр
K
Хвих
Стійкі процеси
нестійкі
стійкі


Рис. 3.1. Рис.3.2.
В НС змінюється постановка і вирішення задачі аналізу стійкості. Якщо в ЛДС стійкість залежить тільки від властивостей системи і не залежить від змінних в початковий момент в НС, котрі є стійкими при малих відхиленнях можуть виникати нестійкі режими при великих початкових відхиленнях.
Тому для НС вводять поняття “стійкість в малому” і “стійкість у великому”.
3.3. Методи дослідження НДС.
Точні розв’язки нелінійних систем управління можуть відноситися до систем не вище другого-третього порядку.
Способів розв’язку нелінійних систем є досить багато, крім того вони можуть застосовуватись в модифікаціях при розв’язку конкретних нелінійних систем.
Ми розглядаємо 2 основних способи розв’язку НС:
Метод фазових траєкторій – відноситься до точних розв’язків динамічних систем.
Метод гармонічного балансу – відноситься до наближених методів розв’язку.
3.3.1. Метод фазових траєкторій
Для наочного зображення складних процесів управління застосовують поняття фазового простору, яке полягає в наступному: диференційне рівняння замкнутої системи n-го порядку приводиться до системи n рівнянь першого порядку.
?
M EMBED Equation.3
t
X1
X2
X3
0
EMBED Equation.3
Рис. 3.3.
M0 – зображаюча точка, а траєкторія руху точки M0 називається фазовою траєкторією, а простір х1х2х3 – фазовий простір (рис. 3.3).
Фазовий простір і фазові траєкторії представляють собою геометричний образ динамічних процесів.
Якщо рівняння складені у відхиленнях від встановленого значення, то х1=х2=х3 =0, для стійких систем при t>?.
Отже, зображенням встановленого стану системи є початок координат фазового простору. Звідси випливає, що фазові траєкторії стійкої системи будуть асимптотично наближатися до нуля при необмеженому збільшенні часу. Фазові траєкторії нестійкої системи будуть необмежено віддалятись від початку координат.
Фазові портрети систем
Фазовий портрет (рис. 3.4) консервативної системи (системи на межі стійкості).
Система має тільки уявні корені p EMBED Equation.3 =±j?. В цьому випадку маємо незгасаючі коливання (рис. 3.5)

X2=X1?
t
+
+
+
–
–
–
x1
0
A
x1
?A
х EMBED Equation.3
A
0

Рис. 3.4. Рис. 3.5.
Фазовий портрет стійкої системи 2-го порядку.
0
x1
x2
t
x1
0
X2=X1?
Система має від’ємні дійсні корені Re p EMBED Equation.3 =?<0 (рис. 3.6). В цьому випадку маємо загасаючий коливальний перехідний процес, фазові траєкторії сходяться до положення рівноваги (рис. 3.7).

Рис. 3.6. Рис. 3.7.
t
x1
0
асимптота
0
x1
x2
?
Фазовий портрет нестійкої системи 2-го порядку
Система має дійсні додатні корені Re p EMBED Equation.3 =? >0 (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Рис. 3.9.
3.3.3. Особливі точки фазових траєкторій
x1
x2
0
Стійкий вузол
x1
x2
0
Нестійкий вузол
•

x1
x2
0
Нестійкий фокус
x1
x2
0
Стійкий фокус
Рис. 3.10.
Для динамічних нелінійних систем можливі стійкі автоколивання, тобто значення змінних можуть періодично повторюватись. Ця можливість приводить до появи замкнених циклів, які називаються граничними циклами (рис. 3.11).
X1
X2
X1
X2
0
Стійкий
граничний цикл
0
Нестійкий
граничний цикл




Рис. 3.11.
Для визначення стійкості граничного циклу необхідно нарисувати дві фазові траєкторії: одну всередині циклу, іншу – за межами циклу і прослідкувати рух точки всередині траєкторій.
3.4. Поняття стійкості за Ляпуновим
Незбурений рух (встановлений процес) називається стійким, якщо при заданій як завгодно малій області ? можливо знайти таку область ?, що при початкових умовах, розміщених всередині цієї області, збурений рух – перехідний процес буде таким, що зображаюча точка не вийде з області ? при як завгодно великому значенні часу t (рис. 3.12).

0
?
?
X1
X2
X3



Рис. 3.12.
3.5. Розв’язок нелінійних динамічних систем (методом фазових траєкторій)
Лінії перемикань є геометричним місцем точок фазової площини, де здійснюється перехід від одного лінійного диференційного рівняння до фазових траєкторій другого лінійного диференційного рівняння (рис. 3.13).
0
лінії перемикань
x EMBED Equation.3
x EMBED Equation.3
?
?
C
D
А
B
?

?
x EMBED Equation.3
x EMBED Equation.3
0




Рис. 3.13.
Лінії перемикань диференційних рівнянь відповідатимуть точкам статичних характеристик A, B і C, D (рис. 3.13).
Як приклад, розглянемо систему регулювання температури ОУ пропарочної камери (рис. 3.14).
ПР
?
?
?
?
Uдв–
+ Uдв
RT
?o
Д
Двигун
?
– зубчата
передача
?
теплоносій
R
R
R
•
•
•
К.Пр.
B
ОУ
ОЗ1
ОЗ2
?
?
?
U EMBED Equation.3
/
/
/
/
0
0
?
?




Рис. 3.14.
ПР – поляризоване реле
К.Пр – контакти ПР
U EMBED Equation.3 - напруга живлення мостової схеми
ОЗ1, ОЗ2 –обмотки збудження двигуна Д
R EMBED Equation.3 – терморезистор
В – вентиль (регулятор)
Рівняння об’єкту управління системи буде виглядати наступним чином:
EMBED Equation.3
або
EMBED Equation.3
Рівняння руху двигуна:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Структурна схема, що відповідає написаним рівнянням динаміки з врахуванням характеру нелінійності буде виглядати як зображено на рис. 3.15:
?
?
?-?
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
?
а
а
?
U EMBED Equation.3
??
?
?
ОУ
НЕ
U EMBED Equation.3
?
?



Рис. 3.15.
?
EMBED Equation.3
?
??
?
ЛЧ
?
?
?
-В
EMBED Equation.3
U EMBED Equation.3
НЕ
а
а
?
U EMBED Equation.3
В
Об’єднуючи лінійні ланки в одну лінійну частину, отримуємо схему, зображену на рис. 3.16:


Рис. 3.16.
Рівняння лінійної частини системи матиме наступний вигляд:
EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3
Рівняння руху системи розіб’ється на три диференційні рівняння 2-го порядку:
EMBED Equation.3 (1)-(3)
Для побудови фазового портрету вибиремо координати фазової площини х та EMBED Equation.3 . Тоді рівняння (2) запишеться:
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3

- kB
- kB
X
Y
a
a
c
0
Лінія перемикань
Лінія перемикань
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I
II
III



Рис. 3.17.
Тоді розв’язок рівняння (1) та розв’язок рівняння (3) із системи буде:
EMBED Equation.3
для (2)
для (1)
для (3)
Фазовий портрет системи, згідно розв’язків, зображений на рис. 3.17.
3.5.1. Метод гармонічного балансу
Метод гармонічного балансу відноситься до наближених методів дослідження нелінійних систем. Він полягає у знаходженні розв’язку нелінійної системи виду Аsin?t, де А – амплітуда, ? – частота.
Складну НДС можна звести до виду:

Wл(p)
fн.е.
x1
x2
Jн.е.(А)
Лінійна частина
Нелінійна частина
Метод гармонічного балансу грунтується на положенні про те, що на високих частотах реальні системи мають коефіцієнт передачі рівний нулю.
Запишемо умову Найквіста для такої системи:
EMBED Equation.3
J EMBED Equation.3 (A) – еквівалентна амплітудо-фазова характеристика неінерційного нелінійного елементу. J EMBED Equation.3 (A) залежить від амплітуди і не залежить від частоти вхідної чи вихідної величин. Характеристика J EMBED Equation.3 (A) повністю визначається формою статичної характеристики НЕ.
J EMBED Equation.3 (A) = N(A)+JM(A), де N(A) i M(A) – дійсна і уявна частина відповідно.
Коефіцієнти N(A) i M(A) визначаються як коефіцієнти ряду Фур’є.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
– Wл(?)
1
Jн.е.(А)
Re(?,A)
Im(?,A)
0
•
•
C
D
?
?
Для однозначних нелінійних характеристик M(A)=0.
Шукаємо точку перетину графіків -Wл(j?)
з EMBED Equation.3 (рис. 3.18).

Рис. 3.18.
З точок перетину графіків знаходять розв’язок А EMBED Equation.3 sinw EMBED Equation.3 t та А EMBED Equation.3 sinw EMBED Equation.3 t для точок C і D відповідно.

Список літератури до розділу 3:
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб.: Изд-во “Профессия”, 2004. – 752с.
Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления под редакцией В.А. Бесекерского. – М.: Наука, 1978. – 514с.
Нелинейные копчеева Ю.втоматического регулирования и управления под редакцией В.