Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” Побудова локсодромії і ортодромії на картографічних сітках деяких картографічних проекцій Методичні вказівки до лабораторних занять з курсу „Основи картографії” для студентів базового напряму 6.0709 „Геодезія, картографія та землевпорядкування” Затверджено на засіданні кафедри фотограмметрії та геоінформатики, протокол №7(388) від 11 травня 2006 року Львів-2006 Львів: видавництво НУ „Львівська політехніка” Побудова локсодромії і ортодромії на картографічних сітках деяких картографічних проекцій Методичні вказівки до лабораторних занять з курсу „Основи картографії” для студентів базового напряму 6.0709 „Геодезія, картографія та землевпорядкування” (укл. Іванчук О.М., Процик М.Т.) Укладачі: к.т.н., доцент Іванчук О.М. ст. викл. Процик М.Т. Відповідальний за випуск: д.т.н., професор Дорожинський О.Л. Рецензенти: к.т.н., доцент Турук Д.М., к.т.н., доцент Дейнека Ю.П. Мета цих методичних вказівок – допомогти студентам закріпити теоретичні знання з курсу „Основи картографії” за темою „Побудова локсодромії і ортодромії для різних картографічних проекцій”. Послідовність виконання роботи Розгляд загальних положень: визначення ортодромії і локсодромії, їх графічне зображення і побудова на різних картографічних проекціях. Обчислення проміжних точок ортодромії та локсодромії, азимутів цих ліній і ортодромічної поправки. Визначення віддалі між пунктами вздовж ортодромії та локсодромії. Побудова на картографічній сітці ортодромії та локсодромії. Список літератури Вахрамеева Л.А. Картография.- М.:Недра, 1981. Вахрамеева Л.А., Бугаевский Л.М., Казакова З.Л. Математическая картография.- М.:Недра, 1986. Методические указания к выполнению лабораторних работ по курсу „Картография”. Сост. А.С. Лисичанский.- Киев: КИСИ, 1984. Контрольні запитання. Дайте визначення локсодромії. Що таке ортодромія? Яке практичне застосування локсодромії і ортодромії? Як зображуються локсодромія і ортодромія в рівнокутній циліндричній проекції Меркатора? Як зображуються локсодромія і ортодромія в центральній (гномонічній) перспективній проекції? Загальні положення Локсодромія – лінія, що перетинає меридіани в проекції під одним і тим же кутом. На картографічних сітках різних проекцій лінія локсодромії зображується по-різному. Так, наприклад, у рівнокутній циліндричній проекції, де меридіани і паралелі на карті зображуються взаємно перпендикулярними лініями, локсодромія є прямою лінією, що перетинає меридіани під одним і тим же кутом. Проекції, в яких локсодромія зображується прямою лінією, ще називають локсодромічними. Для нанесення локсодромії на карту, побудовану у рівнокутній циліндричній проекції, досить з’єднати початкову (пункт А) і кінцеву (пункт В) точки. Це зручне і очевидне прокладання шляху прямою лінією обумовило застосування карт, побудованих у цій проекції, в морській навігації та авіації. У разі необхідності прокладки локсодромії на картах іншої проекції координати її проміжних точок знімають з карти рівнокутної циліндричної проекції. Ортодромія – це найкоротша віддаль між пунктами. На картографічних сітках різних проекцій ортодромія зображується по-різному. Зокрема, на картах, побудованих у рівнокутній циліндричній проекції ортодромія зображується у вигляді складної трансцендентної кривої. На картах, побудованих у перспективній проекції з центром проектування, що знаходиться в центрі земної кулі, ортодромія зображується у вигляді прямої лінії. Ці проекції мають назву гномонічних чи центральних проекцій і вони є частковим випадком азимутальних проекцій. Лінії локсодромії та ортодромії називають лініями положення. Їх використовують для розв’язання практичних задач на картах. Побудова на карті ортодромії і локсодромії. Побудова ортодромії. На картах, побудованих у перспективній центральній (поперечній гномонічній) проекції ортодромію отримують, з’єднавши прямою лінією два пункти, задані географічними координатами ? і ?. Якщо прийняти земну поверхню умовно за кулю, то ортодромія в проекції є зображенням дуги великого кола на кулі. Для карти, побудованій в іншій проекції (зокрема в циліндричній) послідовність нанесення ортодромії наступна: визначають географічні координати ряду точок ортодромії, що лежать на дузі великого кола, яка з’єднує задані точки А і В. Кількість проміжних точок залежить від потреб точності побудови ортодромії та практичних задач; за отриманими географічними координатами ці точки переносять на карту і з’єднують плавною кривою. Побудова локсодромії. Нанесення локсодромії на карту, яка побудована в прямій рівнокутній циліндричній проекції (проекції Меркатора) аналогічне нанесенню ортодромії на карту, побудовану у центральній (гномонічній) перспективній проекції. На картографічну сітку проекції Меркатора за географічними координатами ?, ? наносять пункти А і В та з’єднують їх прямою лінією, що дає зображення локсодромії. Для карт, складених в інших проекціях (зокрема в азимутальній чи конічній) послідовність нанесення локсодромії наступна: визначають географічні координати проміжних точок локсодромії між пунктами А і В; переносять отримані проміжні точки на картографічну сітку даної карти і з’єднують їх плавною кривою. Обчислення проміжних точок ортодромії і локсодромії, азимутів цих ліній та ортодромічної поправки. Виконаємо обчислення проміжних точок ортодромії і локсодромії, азимутів цих ліній та ортодромічної поправки на контрольному прикладі. Контрольний приклад. Обчислити широти точок перетину ортодромії та локсодромії, що проходять через початковий і кінцевий пункти (А і В) з проміжними меридіанами. Нехай пункт А знаходиться в околицях Львова, а пункт В в районі м. Норильська (Росія). Координати пунктів: ?А = 50°, ?А = 24°, ?В = 69°, ?В = 88°.° 2.1. Обчислення широт проміжних точок ортодромії і азимута в її початковій точці (А). Для обчислень скористаємося формулами: tg ?i = tg ?A · cosec(u) · sin [(u – ?A) +?i], (1) де ctg u = ctg ?A · tg ?B · cosec (?B – ?A) – ctg (?B – ?A), (2) ctg ?opm = ctg u · sin ?A . (3) sin ?A 0,766044 ?B – ?A 64,0?
tg ?A 1,191754 cosec (?B – ?A) 1,112602
сtg ?A 0,839100 ctg (?B – ?A) 0,487733
tg ?B 2,605089 ctg u 1,944337
u, градус 27,2174?
ctg ?opm 1,489448
?opm , градус 33,88?
cosec(u) = 2.186423 ?і , градус 30 40 50 60 70 80
(u – ?A) +?i), 33,217 43,217 53,217 63,217 73,217 83,217
2.2. Обчислення широт проміжних точок локсодромії і її азимута ?лок . Обчислення виконуються за формулами: tg ?лок = (?B – ?A) / (DB – DA) = 3840?/ 2316,2? = 1,65789 , ?лок = 58,9? , Di = DA + (?i – ?A) · ctg ?лок , (4) DA = 3456,8?; ctg ?лок = 0,60324 . D , хвил. – меридіональні частини (див. додаток 9 [1] ). Значення широт точок локсодромії ?і визначаються за допомогою таблиці (додаток 9 [1]) за знайденими значеннями D?. ?i , градус 30 40 50 60 70 80
(?i – ?A), хвил. 360 960 1560 2160 2760 3360
(?i – ?A)·ctg ?лок 217 579 941 1303 1665 2027
Di , хвил. 3674 4036 4398 4760 5122 5484
?і градус 52,3 55,8 59,1 62,0 64,7 67,2
2.3. Визначення кута між локсодромією і ортодромією (ортодромічна поправка) в проекції Меркатора. Ортодромічна поправка для початкового пункту ортодромії обчислюється за формулою: ? = (?B – ?A) · sin ?m / 2 , (5) де ?m = (?А + ?В) / 2 = 59,5? ; ?=64? · 0,4308 = 27,6?. Тоді азимут ортодромії в початковому пункті А: ?opm = ?лок – ? = 58,9? - 27,6? = 31,3? Визначення віддалей між пунктами вздовж ортодромії і локсодромії. Визначення віддалі між пунктами вдовж ортодромії. Віддаль вздовж ортодромії ? для поверхні кулі спочатку обчислюється в хвилинах дуги за формулою: cos ? = sin ?A · sin ?B + cos ?A · cos ?B · cos (?B – ?A), (6) а потім переводиться в кілометри за формулою: Sopm = R · ? / ?? , (7) де середній радіус кривизни земної поверхні R вибирають з додатку 1 [1] для середнього значення широт пунктів А і В. Для нашого прикладу ?ср = (?А + ?В)/2 = 59,5?, а R = 6388,61 км. sin ?A 0,766044 cos ? 0,816144
cos ?A 0,642788 ?? 2118?
sin ?B 0,933580 1/?? 0,00029
cos ?B 0,358368 R , км 6388,61
cos (?B – ?A) 0,438371 Sopm , км 3935,7
Обчислення віддалі вздовж локсодромії. Для поверхні еліпсоїда її визначають за формулою: Sлок = (SB – SA) · sec ?лок , (8) де SA , SB – довжини дуг меридіанів від екватора до паралелей з широтами ?А , ?В (їх вибирають з додатку 6 [1]). Для поверхні кулі віддаль вздовж локсодромії визначають за формулою: Sлок = R · sec ?лок · (?B – ?A) / ??. (9) SB , км 7657,56 R, км 6388,6
SA , км 5540,94 ?лок 58,9?
?лок 58,9? (?B – ?A) 19,0?
Sлок , км 4097,7 1 / ?? 0,01745
Sлок , км 4101,4
В проекції Меркатора Sлок визначають за формулами: Sлок = (хВ - хА) · sec ?лок = (уВ - уА) · cosec ?лок , (10) де хА , хВ – абсциси, які в проекції Меркатора називають меридіональ-ними частинами D і визначають за форм
