Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Дослідження картографічної
проекції за її рівняннями
Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу
“Основи картографії”
для студентів базового напряму
6.0709 – “Геодезія, картографія та землевпорядкування”
та з курсу “ Основи картографії ”
для курсантів військово-облікової спеціальності
151002 “Застосування топографічних підрозділів і частин”
Затверджено на засіданні кафедри
фотограмметрії та геоінформатики,
протокол №7(388) від 11 травня 2006 р.
Львів – 2006
Львів, НУ “Львівська політехніка”
“Дослідження картографічної проекції за її рівняннями”
Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Основи картографії” для студентів базового напряму 6.0709 – “Геодезія, картографія та землевпорядкування” та з курсу “Основи картографії” для курсантів військово-облікової спеціальності 151002 “Застосування топографічних підрозділів і частин”,
(укладачі: О.М.Іванчук, М.Т. Процик).
Укладачі: О.М.Іванчук, к.т.н., доцент,
М.Т. Процик, ст. викладач.
Відповідальний за випуск: О.Л.Дорожинський, д.т.н., професор
Рецензенти: Д.М.Турук, к.т.н., доцент,
Ю.П. Дейнека, к.т.н., доцент.
Мета роботи
Метою лабораторної роботи “Дослідження картографічної проекції за її рівняннями” є необхідність закріплення теоретичного матеріалу розділу “Математична картографія“ та набуття студентами практичних навичок подібних розрахунків.
На виконання роботи відводиться 6 годин. За цей час студенти повинні виконати необхідні розрахунки, внаслідок яких побудувати сітку меридіанів і паралелей цієї проекції в довільному масштабі, встановити до якого класу (виду) вона відноситься та визначити і графічно відобразити величини спотворень (кутів, площ, масштабів довжин) заданої рівняннями картографічної проекції.
До виконання лабораторної роботи допускаються студенти, які вивчили теоретичний матеріал даної теми, та дали письмові відповіді на контрольні запитання.
Послідовність виконання завдання
Вивчити теоретичний матеріал за наступними джерелами:
[1], с.11-78, [2], с.12-85, [3], с.21-96, [4], с.12-103.
2. Дати відповіді на контрольні запитання.
3. Виконати завдання згідно заданих рівнянь проекції та у відповідності зі змістом.
Література
Вахрамеева Л.А. Картография.-М.: Недра.-1981. 224 с.
Соловьев М.Д. Математическая картография.-М.:Недра.-1969.
Павлов А.А. Практическое пособие по математической картографии.-Л: Изд-во Ленинград. ун-та.-1974. 171 с.
Вахрамеева Л.А., Бугаевский Л.М., Казакова З.Л. Математическая картография.-М.:Недра.-1986.
Контрольні запитання
Класифікація картографічних проекцій за видом нормальної картографічної сітки.
Класифікація картографічних проекцій за видом спотворень.
Умови рівнокутного (конформного) відображення еліпсоїда на площині.
Умови рівновеликого (еквівалентного) відображення еліпсоїда на площині.
Умови рівнопроміжного відображення еліпсоїда на площині.
Що собою являють коефіцієнти Гаусса і як за їх допомогою визначити масштаби вздовж меридіанів і паралелей та масштаб площ.
Що виражають індикатриси (еліпси) спотворень та ізоколи на картографічних проекціях.
Зміст лабораторного завдання
Контрольний приклад.
Проекція задана рівняннями:
x=R·Cos?·Cos? ,
y=R Cos?·Sin? . (1)
Встановити до якого класу відноситься дана проекція за видом нормальної сітки і характером спотворень, побудувати сітку меридіанів і паралелей в довільному масштабі, показати на ній індикатриси (еліпси) спотворень масштабів довжин та ізоколи спотворень кутів і площ. Для зображення яких територій земної поверхні доцільно використовувати дану проекцію і чому.
Методичні рекомендації до виконання завдання
Послідовність виконання завдання:
Загальне ознайомлення з рівняннями проекції.
Аналізуючи рівняння (1) можна зробити висновок, що за математичну поверхню Землі (МПЗ) тут прийнято кулю радіуса R. ЇЇ приймають рівною R = 6371116 м. Якщо б у рівняннях (1) були параметри еліпсоїда, то вони б описували проекцію еліпсоїда на площину. На даний час в Україні за МПЗ прийнято еліпсоїд Ф.Н. Красовського параметри якого наступні: велика піввісь а=6378245,000 м, мала піввісь b = 6356863,019 м, квадрат першого ексцентриситету е2 =0,006693422, квадрат другого ексцентриситету е?2 = 0,006738525.
Встановлення виду картографічної сітки.
Знаходження рівнянь зображення меридіанів і паралелей та встановлення їх геометричного виду.
Вихідні рівняння (1) є функціями двох змінних: широти ? і довготи ?. Щоб отримати рівняння паралелей і меридіанів на площині в загальному вигляді, відповідно, F1(x,y,?)=0 і F2(x,y,?)=0, необхідно вихідні рівняння перетворити так, щоб у першому випадку виключити параметр ?, а в другому – параметр ?.
Для отримання рівняння паралелей виду F1(x,y,?)=0 необхідно з першого рівняння (1) виділити Cos?, з другого Sin?, піднести їх до квадрату і просумувати. Отримаємо:
,
,
____________________________
,
або х2 + у2 = R2·Cos2?. (2)
Як бачимо – це рівняння кола в загальному вигляді. Таким чином, паралелі – концентричні окружності з центром у початку координат (точці полюсу), радіус яких рівний rпар = R·Cos?; віддалі між паралелями в напрямі від екватора (?=0°) до полюса (?=90°) зростають пропорційно Cos?.
Для отримання рівняння меридіанів виду F2(x,y,?)= 0 широту ? в рівняннях (1) виключимо шляхом поділу другого рівняння (1) на перше. Отримаємо:
у = х·tg?. (3)
Це рівняння прямих ліній в загальному вигляді. Таким чином, меридіани – це сімейство прямих ліній, що перетинаються в точці перетину координатних осей (точці полюсу) під кутами ? до осі х.
Побудова рисунка картографічної сітки (КС) меридіанів і паралелей.
Рисунок КС можна побудувати в довільному масштабі. Для прикладу в масштабі 1:100000 радіус кулі R=63,7 мм. Рисуємо олівцем координатні осі х, у, визначаємо значення радіусів паралелей rпар для широт ? з інтервалом 15° (див. таблицю 1), потім циркулем проводимо паралелі, а далі за допомогою транспортира через 15° проводимо меридіани. Таким чином ми отримали рисунок картографічної сітки нашої проекції, яку за видом КС можна віднести до класу азимутальних проекцій (рис.1).
Табл.1
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°

rпар, мм
63,7
61,5
55,2
45,0
31,9
16,5
0

Знаходження коефіцієнтів Гаусса e, g, f, h.
Коефіцієнти Гаусса обчислюються за формулами:
,
, (4)
,
.
Знайдемо частинні похідні від рівнянь (1) за змінними ? і ?:

За формулами (4) знайдемо вирази для коефіцієнтів Гаусса:
e = R2Sin2? (Cos2? + Sin2?) = R2Sin2?,
g = R2Cos2? (Sin2? + Cos2?) = R2Cos2?,
f = R2Sin? Cos? Sin? Cos? - R2Sin? Cos? Sin? Cos? = 0,
h= - R2Sin? Cos? (Sin2? + Cos2?) = - R2Sin? Cos?.
Для контролю одержаних виразів використаємо тотожність Ейлера-Лагранжа eg – f2 = h2. В нашому випадку:
eg – f2 = R2Sin2?·R2Cos2? – 02 = R4 Sin2?·Cos2? = h2.
Отже коефіцієнти одержано правильно.
Встановлення характеру спотворення проекції.
Дослідження проекції на рівнокутне зображення.
Умовами рівнокутного (конформного) зображення еліпсоїда на площині є: f = 0, тобто сітка меридіанів і паралелей повинна бути ортогональною, а також vе/М = vg/N Cos?, тобто масштаби уздовж меридіанів і паралелей повинні бути рівними m = n.
Для поверхні кулі ці умови, відповідно, f=0 та vе/R = vg/R Cos?.
В нашому випадку f=0, проте vе/R = Sin? ? vg/R Cos? = 1. Лише в точці полюсу (?=90°) спотворень немає, тому наша проекція не є рівнокутною за характером спотворень.
4.2. Дослідження проекції на рівновелике зображення.
Умовою рівновеликого (еквівалентного) зображення в загальному вигляді є:
для поверхні еліпсоїда: h = M r = M N Cos ?,
для поверхні кулі, відповідно, h = R2 Cos ?.
Це означає, що у рівновеликих проекціях зберігаються співвідношення площ на карті до відповідних площ на поверхні еліпсоїда чи кулі, тобто масштаб площ для поверхні еліпсоїда р=h/Mr=Const, а для поверхні кулі – p=h/R2 Cos ? = 1.
В нашому випадку h = - R2Sin? Cos? ? R2 Cos ?, тому проекція не є рівновеликою.
4.3. Дослідження проекції на рівнопроміжне зображення.
Умовою рівнопроміжного зображення є вимога, щоб один з головних масштабів а чи b дорівнював сталій величині або одиниці. В нашому випадку внаслідок ортогональності проекції (f=0, тобто меридіани і паралелі є взаємно перпендикулярними) головні масштаби рівні масштабам вздовж меридіанів і паралелей, а саме а=n=vg/R Cos? = 1, а b = m = vе/R = Sin?. Отже, наша проекція є рівнопроміжною вздовж паралелей.
Встановлення величин масштабів і спотворень даної проекції.
Одержання аналітичних виразів.
Насамперед необхідно отримати вирази для кута і між меридіаном і паралеллю в зображенні і його спотворення ?. Їх визначають за формулами:
tg i = h/f, tg ? = -f/h.
В нашій проекції меридіани і паралелі перетинаються під прямим кутом, тому і=90°, а ?=0°.
Масштаби уздовж меридіанів і паралелей визначають за формулами:
для поверхні еліпсоїда: m = vе/М, n = vg/r = vg/N·Cos?,
для поверхн