ПРИКЛАДИ ЗАДАЧ З ПРЕДМЕТУ "ОБРОБКА СИГНАЛІВ"
1.Визначити частоту першої та третьої гармоніки періодичного сигналу, зображеного на рисунку.
Частота n - ї гармоніки періодичного сигналу , де T період сигналу.
В нас n дорівнює 1 і 3, а з рисунку період T =5*10-6 сек. Тоді частота першої гармоніки дорівнює , а частота третьої гармоніки
(3=3*(1=2(*0,6*106 рад/сек.
2.Знайти постійну складову періодичного сигналу зображеного на рисунку.
Постійна складова періодичного сигналу дорівнює нульовому коефіцієнту відповідного експоненційного ряду Фур’є .
В нас період T =5*10-6 сек, тривалість імпульса Ti =1*10-6 сек, його амплітуда 1В і, відповідно, .
3.Визначити амплітуду першої гармоніки періодичного сигналу зображеного на рисунку.
Періодичну функцію з періодом можна зобразити лінійною комбінацією експоненційних функцій:
=.
Це зображення відоме як експоненційний ряд Фур’є. Коефіцієнти цього ряду можна визначити за формулою, де .
Амплітуда першої гармоніки дорівнює - подвоєному модулю першого коефіцієнта експоненційного ряду Фур’є
Із умови задачі в нас n=1, а з рисунка T=5мкс=5*10-6с, тривалість імпульса (=1мкс, висота імпульса h=1В.
Тоді
.
Амплітуда першої гармоніки дорівнює
.
Остаточно, підставляючи значення, одержимо
В.
4.Розкласти в експоненційний ряд Фур’є періодичну послідовність імпульсів зображену на рисунку.
Періодичну функцію з періодом можна зобразити лінійною комбінацією експоненційних функцій:
=.
Це зображення відоме як експоненційний ряд Фур’є. Коефіцієнти цього ряду можна визначити за формулою, де .

5.Обчислити потужність постійної складової періодичного сигналу зображеного на рисунку, де U=4B, T=4мкс, Ti=1мкс.
Потужність постійної складової періодичного сигналу s(t) дорівнює
,
де F0 - нульовий коефіцієнт експоненційного ряду Фур’є рівний .
Для нашого випадку
.
Тоді шукана потужність
.
Підставивши значення з умови задачі, одержимо P0=1 B2.
6.Знайти спектральну густину імпульсу s(t)=10exp(-2,3*106t)*1(t), де 1(t) функція одиничного стрибка.
Функція спектральної густини сигналу дорівнює
.
В нашому випадку
.
7.Спектральна густина імпульсу u(t) має вигляд F(()=(Uexp(-(|(|). Знайти імпульс u(t).
Використаємо обернене перетворення Фур’є
.
Для нашого випадку запишеться

8.Обчислити взаємну кореляційну функцію прямокутного і трикутного імпульсів
.
Взаємна кореляційна функція двох сигналів s1(t) і s2(t) дорівнює

,
де ( затримка сигналу s2(t).
Для значень затримки із діапазону 0 ( ( ( T взаємна кореляційна функція дорівнює
.
Для значень затримки із діапазону -T ( ( ( 0 взаємна кореляційна функція дорівнює
.
Для значень затримки із діапазону ( > T і ( < -T взаємна кореляційна функція дорівнює
.
Об’єднуючи результати одержимо

Графік одержаної взаємної кореляційної функції наведений на рисунку.
9.Обчислити кореляційну функцію прямокутного імпульсу
.
Кореляційна функція сигналу s(t) дорівнює
,
де ( затримка сигналу s(t).
Для значень затримки із діапазону 0 ( ( ( T кореляційна функція дорівнює
.
Для значень затримки із діапазону -T ( ( ( 0 кореляційна функція дорівнює
.
При (((>T кореляційна функція дорівнює Bs(()=0.
Об’єднуючи записи можна записати
.
Графік одержаної кореляційної функції наведений на рисунку.
10. Визначте перетворення Фур’є функції af1(t-t0)+bf2(kt), якщо f1(t)(F1((), f2(t)(F2(().
Використовуючи властивості лінійності, часового зсуву та зміни масштабу часу перетворення Фур’є одержимо

11. Визначіть мінімальну частоту відліків і період дискретизації для сигналу sinc(100t).
Використаємо властивість симетрії перетворення Фур’є, згідно якої, якщо , то . Зокрема, перетворення Фур’є від симетричного прямокутного імпульса тривалістю (, амплітудою A=1 дорівнює (рис.а),

а)
і, навпаки, перетворення Фур’є від функції sinc(wt/2) є прямокутний симетричний імпульс шириною w (рис.б).
б)
Тоді максимальна частота в спектрі сигналу . В нашому випадку (m=100 і, відповідно, fm=(m/2(=100/2(. Згідно теореми рівномірних відліків максимальний період дискретизації , а мінімальна частота дискретизації (відліків) fd=100/(.
12. Визначте перетворення Фур’є функції af(t)exp(i(0t), якщо f(t)(F(().
Використовуючи властивості лінійності та частотного зсуву перетворення Фур’є одержимо
.
13. Визначте перетворення Фур’є функції af(t-t0)cos((0t), якщо f(t)(F(().
Використовуючи властивості лінійності, частотного та часового зсувів перетворення Фур’є одержимо
.