Лекція №7
Неперервні системи (аналогові) обробки (перетворення) сигналів.
В системах обробки сигналів можна виділити: вхід, призначений для подачі сигналів, вихід, звідки оброблені сигнали поступають для подальшого користування; внутрішні змінні, які характеризують стан системи.

вхідний x(t) і вихідний сигнал (реакція системи) y(t) системи звичайно представляють собою скалярні функції часу. Проте в загальному випадку вхідні і вихідні сигнали представляються в вигляді векторів:


система обробки сигналів, яка має m входів і n виходів називається багатомірною.
Якщо вхідний і вихідний сигнал , а також стан системи означені в кожний момент часу t і час неперервний, то система називається неперервною. Якщо указані сигнали і стан визначені в дискретні моменти часу, то система називається дискретною. Ми розглянемо основні поняття для неперервних систем обробки сигналів, які мають аналогію в дискретних і цифрових системах обробки сигналів.
Зв’язок між сигналами x(t) i y(t) можна задати через системний оператор О{.} оператор перетворення, який виконує перетворення вхідного сигналу у вихідний
y(t)=O{x(t)}
система називається стаціонарною або система з постійними перетвореннями, якщо її вихідна реакція не залежить від моменту подачі вхідного сигналу x(t), тобто
y(t ( t0) = O{ x(t ( t0)}, при будь-якому f
нваріантна до зсуву система.
В противному разі система називається нестаціонарною, параметричною або системою із змінними параметрами.
Якщо оператор системи такий, що виконується принцип суперпозиції
О{(1x1(t) + (2x2(t) = (1 O{x1(t)} + (2 O{x2(t)}, де (1, (2 – числа, то система називається лінійною. (реакція на суму сигналів дорівнює сумі реакцій, на кожний сигнал окремо). В противному випадку система називається нелінійною.
Характеристики нелінійних систем.
Лінійність і стаціонарність легко дозволяє знайти реакцію системи на будь-який вхідний детермінований сигнал, знаючи в нього одну функцію – реакцію системи на подачу на вхід дельта-функції. Ця реакція називається імпульсною характеристикою системи h(t).
h(t)=O {((t)}.
Сигнал може бути представлений в вигляді згортки самого себе з дельта-функцією, зокрема вхідний сигнал ( ... властивістю дельта-функції)
( неперервна сума (- імпульсів.
У вигляді інтегральної суми, останній вираз можна записати

тобто вхідний сигнал передається сумою дельта-функцій з амплітудою sвх(()((
реакція систем на імпульс sвх(()(( h(t-(),
а повний відгук з врахуванням принципу суперпозиції.

для лінійних систем зв’язок між вхідним і вихідним сигналом при відомій імпульсній характеристиці і нульових початкових умовах задається інтегралом Дюамеля:
згортка вхідного сигналу і імпульсної х-ки.
Для фізично реалізованих систем h(t)=0, t<0. це означає, що реакція систем на дельта-імпульс не може виникнути до моменту подачі цього імпульсу на вхід системи. Звідси зрозуміло, що
h(t-()=0 при (>t і ф-ла переписується

якщо сигнал подається в момент t=0 і дорівнює нулю при t<0

Остання формула має зрозумілий фізичний зміст:
Лінійна система виконує зважене інтегрування всіх можливих значень сигналу x(t) , які поступили до моменту часу t. Тому імпульсну характеристику називають ще ваговою функцією системи.
Перехідною характеристикою g(t) називають реакцією системи на додатній на вхід одиничний стрибок. Оскільки дельта-імпульс – це похідна від одиничного стрибка, то має місце зв’язок.
,
Імпульсна характеристика лінійної стаціонарної системи визначає її поведінку і дозволяє досліджувати систему в часовій області. Для дослідження імпульсних систем в частотній області використовують частотну характеристику H((). H(() зв’язана з h(() парою перетворення Фур’є (ще називається комплексним коефіцієнтом передачі системи )


для лінійних систем гармонічні сигнали є власними, тобто при проходженні гармонічного сигналу через лінійну систему він не змінює своєї форми. Тобто реакція буде таким гармонічний сигнал. Тобто H(() передається комплексний коефіцієнт передачі гармонічного сигналу з частотою ( з виходу системи на вхід.
Нехай sвх(t)((F(() , sвих(t)((R(() , h(t)((H((),
Тоді врахувавши теорему про згортку одержимо
R(()=F(()H(().
В загальному випадку H(() комплексна функція і може бути записана в показниковій формі.
H(()=|H(()|ei((()
Де |H(()| - амплітудна-частотна характеристика (АЧХ), ((() – фазо - частотна характеристика (ФЧХ). Оскільки h(t) – дійсна функція, то із властивостей перетворення фур’є випливає, що
H(()=H*(-(),
Що означає, що АЧХ є парною, ФАХ – непарною функцією частоти.
Не кожна функція H(() відповідає фізично реалізованій системі. В частотній області умови фізичної реалізованості існує у вигляді критерію Пелі – Вінера.

проте для виконання критерію П-В амплітудно-частотна характеристика повинна бути інтегрована в квадраті, тобто
(необхідно, також, щоб ФЧХ була такою, щоб результуюча функція була фізично реалізовано)
Якщо ФЧХ не дозволяє критерію П – В , то система має непричинну реакцію, тобто реакція існує, до того як до системи прикласти дію.
Із формули випливає також, що амплітудно - частотна характеристика |H(()| може дорівнювати нулю в скінченій кількості точок, но не може дорівнювати нулю в кожній смузі точок так, як це приведе до розходження інтегралу. Із цієї формули також випливає, що АЧХ не може знижуватися до нуля швидше ніж експонента. Тобто функція |H(()|= (е-(|(| - допустима, Q - Гауссова функція - відноситься до фізично нереалізованої системи.
Приклад: АЧХ задається рівнянням

і відповідає ідеальному ФНЧ.
Застосуємо зворотнє перетворення Фур’є, одержимо:
.
Функція h(t) симетрична відносно точки t=0, що свідчить про фізичну неперервність систем з такою АЧХ.
Перетворення Лапласа і передаточна функція систем.
Інша можливість опису лінійних стаціонарних систем групується на використані диф. р-нь, які також встановлюють відповідність між сигналами на вході і виході системи:
, де
x(t) – вхідний сигнал, y(t) – вихідний сигнал, аі , bi – постійні коефіцієнти. Таким чином система описується набором {ai } і {bi}.
Для розв’язання диф. рівнянь широко застосовується оператор ний метод, який ґрунтується на перетворення Лапласа (одностороннє). Перетворення Лапласа аналогічне до пари перетворених Фур’є і задається парою рівнянь:
- пряме перетворення
- зворотнє перетворення.
Нам важливо, що L{ } лінійне і при диф. сигналу в часі його перетворення Лапласа множеться на комплексну частоту р.
Тут „р” служить для позначення комплексної змінної, областю зміни якої є комплексна частота S: р=(+і(
X(p) існує для всіх „р”, для яких інтеграл є „абсолютно” збіжний

перетворення Лапласа означена тільки для сигналів тільки для сигналів, тотожньо рівних нулю при t<0 і які задовольняють умові
|x(t)|(k(e(t, k,( - додатні числа.
Зворотнє перетворення Лапласа зводиться до інтегрування у комплексній площині S.
Сигнал x(t) називають оригіналом , а функцію X(p) його зображенням за Лапласа. Більшість властивостей перетворення Лапласа відповідають відповідним властивостям перетворення Фур’є. Перетворення Лапласа є поширення ідей перетворення Фур’є на випадок, коли , тобто для функцій, не інтегрованих з квадратом, шляхом введення абсциси збіжності.
Взявши перетворення Лапласа від обох частин диф. р-ня. з врахуванням
Одержимо
(anpn + ... +a1p+a0)Y(p)=(bmpm + …+b1p+b0)X(p)
звідси відношення X(p) до X(p) дорівнює
- дробово-раціональна функція
H(p) називається передаточною функцією або функцією передачі. Повинна використовуватися умова m ( n. Де зв’язано з неможливістю операції чистого диференціювання аналоговою системою. n – називається порядком ланки. Корені рівнянь:


називають відповідно полюсами Pi і нулями Zi функції передачі.
Розклавши ч