3. Моделювання аналогових та дискретних систем
3.1. Постановка задачі побудови математичної моделі
Існує розв’язання проблеми побудови за заданими вхідними та вихідними часовими сигналами x(t) та y(t) (напругами або струмами) математичних моделей нелінійних схем, які описуються диференціальними рівняннями у явній формі. Розглянемо принципи побудови математичних моделей нелінійних динамічних схем, що мають вигляд інтегро-диференціальних, а також відповідних дискретних рівнянь при обмеженій апріорній інформації. Нехай задано неперервні, скінченні та обмежені множини вхідних сигналів (X(t)((X(t)(, де (X(t)(=(x(t)(
та вихідних сигналів схеми (Y(t)((Y(t)(, де {Y(t)}={y(t)}
, визначені на множинах та , які належать до класів та . Тобто, для всіх моментів часу t[0;T] є відомими скінченні множини дій з елементами (X(t)(=[x(t),x(t),...,x(t)], а також відповідних реакцій (Y(t)(=[y(t), y(t),...,y(t)] (інакше кажучи, для всіх моментів часу t з інтервалу спостереження T математичні описи вхідних та вихідних сигналів схеми відомі). Покладемо, що сигнали та узгоджені у часі і для них виконується умова причинності. Припустимо, що для та існує оператор . Визначимо за заданими сигналами схеми x(t), y(t) структуру та параметри її математичної моделі.
Розглянемо традиційне для опису нелінійних схем представлення у вигляді алгебро-диференціальних рівнянь у нормальній формі вигляду:
;
, (3.1)
де – дійсні вектор-функції відповідно вхідних сигналів (збурень), параметрів стану та вихідних сигналів (реакцій), а дійсна вектор-функція є диференційовною за часом при . Узагальнимо систему рівнянь (3.1) для опису більш широкого класу систем. Здійснимо це спочатку для випадку автономної системи, тобто при відсутності дій . Для цього ще раз перепишемо систему (3.1), однак без вектор-функції , при цьому подамо перше рівняння (3.1) в неявній формі. Тоді система рівнянь (3.1) набуде вигляду

;
, (3.2)
з початковими умовами , де – дійсна вектор-функція, диференційовна за часом при .
Теорема 3.1. Нехай функція задовольняє такі умови:
1(. Визначник матриці є відмінним від нуля для заданого інтервалу зміни .
2(. Функція є обмеженою, .
3(. є заданим коренем системи рівнянь .
Тоді неявне векторне диференціальне рівняння (3.2) зводиться до розширеної системи нормальних диференціальних рівнянь першого порядку.
Доведення. Продиференціювавши перше з рівнянь системи (3.2) за , отримаємо
. (3.3)
На основі умови 1( можна стверджувати, що існує обернена матриця до матриці . Позначимо таку матрицю . Тоді з рівняння (3.3) отримаємо таку систему диференціальних рівнянь другого порядку в явній формі:
. (3.4)
Ввівши нові змінні , систему (3.4) зводимо до розширеної системи першого порядку:
;
; (3.5)
.

Теорему доведено. ¦
Зауважимо, що до останньої системи можна застосовувати всі існуючі методи, алгоритми та програми дослідження алгебрично-диференціальних рівнянь у явній формі. Всі властивості явних систем диференціальних рівнянь на основі вказаної теореми при виконанні умов 1(–3( поширюються також на неявні системи.
У випадку неавтономної системи, тобто при наявності відомих вхідних сигналів , система рівнянь (3.2) набуває вигляду
;
. (3.6)
Очевидно, що при виконанні умов теореми 1(–3( остання система може бути зведена до явної форми аналогічно, як друга система.
Узагальнивши рівняння системи (3.2) на випадок автономної системи -го порядку, отримаємо
;
(3.7)
з відповідними початковими умовами
.
Для неавтономної системи -го порядку при наявності в рівняннях похідних від дій отримуємо:
;
, (3.8)
де , а початкові умови такі ж, як і для системи (3.7). Очевидно, що системи (3.7), (3.8) зводяться до явної форми аналогічно, як і система (3.2).
Відомо, що характеристики систем можуть описуватись неявними функціями. Так, вольт-амперні характеристики частотно-перетворюючих діодів описуються неявними функціями. Нелінійні інерційні тракти радіотехнічних систем описуються нелінійними неявними диференційними рівняннями. Для отримання розв’язків рівнянь, представлених у неявному вигляді, можуть використовуватись потужні існуючі засоби. Нехай у системі рівнянь (3.8) . Ввівши позначення та додавши перше рівняння (3.8) до другого, для непараметричної схеми у скалярному випадку отримаємо наступне загальне неявне диференційне рівняння:
, (3.9)
з початковими умовами , де - дійсна нелінійна вектор-функція, диференційована за часом , яка явно не залежить від часу. Сформулюємо задачу, як задачу пошуку структури або (та) параметрів такої функції , яка задовольняє умові

, (3.10)
де , при існуванні однозначного розв'язку та обмеженні (3.3).
3.2. Математичні моделі у вигляді алгебро-диференційних рівнянь
Визначення структури та (або) параметрів функції F[...] може здійснюватись шляхом формулювання та розв’язання задачі мінімізації нев’язки шуканої математичної моделі у певній нормі аналітично, чисельно-аналітичними або чисельними методами). Розглянемо принципи побудови математичних моделей за допомогою чисельних методів. Чисельно-аналітичні та аналітичні методи визначення математичних моделей будуть розглянуті в наступних розділах. Відомо, що для побудови моделі у загальному випадку недостатньо наявності будь-якої скінченної кількості сигналів. Однак, якщо оператор схеми є неперервним, вхідні сигнали x(t) утворюють компактну замкнену множину, тоді модель схеми може бути побудована за допомогою скінченної кількості тестових сигналів. Нехай для сигналів x(t), y(t) існує модель, яка трансформує миттєві значення дій x(t) у відповідні миттєві значення реакцій y(t) з похибкою, яка не перевищує значення (3.3). Знайдемо структуру та параметри такої моделі, якою можна апроксимувати функцію F[...] і за допомогою якої з множини (X(t)( у множину (Y(t)( можна трансформувати часові функції, що містять свої миттєві значення. Для цього сформулюємо наступну лему.
Лема 3.1. Нехай схема описується рівнянням виду (3.9), локально неперервним у замкненій області зміни аргументів F[...]. Нехай також задано аналітичні вирази для сигналів x(t)((X(t)(, y(t)((Y(t)(, де (X(t)(, (Y(t)( - компактні множини сигналів. Тоді для сигналів x(t),y(t) та значення (>0 існує такий багатовимірний поліном L[...] скінченного степеня (k+...+ +k+k+...+k)<, що буде виконуватись нерівність
(3.11)
при обмеженні (3.3) для будь-яких агументів F[...] з області їх зміни , де
, (3.12)

s=m+n+2, - коефіцієнти поліному, які є дійсними постійними величинами, оскільки багатовимірний поліном (3.12) - стаціонарний оператор, , тобто тривіальний розв’язок, при якому всі коефіцієнти дорівнюють нулю, виключається. Крім цього, хоча б один з коефіцієнтів .
Доведення. Зробимо в (3.9) наступну заміну змінних:
.
З урахуванням зроблених замін рівняння (3.9) може бути подано у вигляді: