5.2. Кутова модуляція гармонічного перенощика
Труднощі ефективного випромінювання низькочастотних коливань та значне поглинання їх енергії у навколишньому середовищі при поширенні на значні відстані не дають змоги безпосередньо передавати їх по радіоканалу. Розв’язання цієї проблеми забезпечується переносом низькочастотного спектру інформаційного сигналу у виділений діапазон високих частот. Для цього використовують гармонічний високочастотний сигнал, який виконує функцію перенощика низькочастотного інформаційного сигналу у виділений частотний діапазон. Цей сигнал називають несучим сигналом. Процес зміни одного або кількох параметрів несучого сигналу за законом зміни низькочастотного інформаційного сигналу називають модуляцією. Після такого перетворення отримуємо сигнал, який називають радіосигналом. Отже характерною ознакою радіосигналу є наявність несучого гармонічного сигналу.
Гармонічний сигнал характеризують амплітуда і кут. При кутовій модуляції амплітуда несучого сигналу не змінюється, а інформаційний (модулюючий) сигнал si(t) “керує” зміною кута ((t) (5.20).
Кутова модуляція поділяється на два різновиди модуляції:
частотна модуляція, коли пропорційно до рівня модулюючого сигналу змінюється миттєве значення частоти несучого сигналу;
фазова модуляція, коли пропорційно до рівня модулюючого сигналу змінюється миттєве значення початкової фази сигналу.
Математична модель гармонічного сигналу:
Um – амплітуда гармонічного сигналу перенощика;
((t) – миттєве значення кута;
- початкова фаза, яка може змінюватись від 0 до ;
- частота, яка може змінюватись від 0 до безмежності.
5.2.1. Фазова модуляція гармонічного перенощика
Математична модель сигналу при фазовій модуляції:
Тоді фаза буде змінюватись у відповідності до зміни інформаційного сигналу:
a – коефіцієнт, що встановлює відповідність напруги інформаційного сигналу значенню відхилення фази відносно початкового значення.
Підставивши (5.22) у (5.21), отримаємо математичну модель фазо-модульованого сигналу:
Використаємо в якості інформаційного сигналу гармонічний сигнал, математична модель якого представляється виразом .
Наглядно побачити (відобразити) суть фазо-модульованого сигналу дозволяє його геометрична модель, представлена на рисунку 5.24. На цьому рисунку - максимальне відхилення фази відносно початкового положення, яке є пропорційним максимальному значенню інформаційного
сигналу:
- індекс фазової модуляції.
Підставляючи вираз для si(t) у (5.23) і використовуючи (5.24) отримаємо математичну модель ФМ-сигналу в такому вигляді:
Звідси видно, що миттєве значення кута визначається виразом:

Позначимо миттєву частоту і визначимо її як швидкість зміни кута. Отже, миттєва частота буде визначатись за формулою:
Після підстановки виразу для ?(t) в формулу 5.26 отримаємо вираз для миттєвої чатоти . Ми бачимо, що миттєва частота складається з частоти сигналу-перенощика ?п і величини зміни цієї частоти mФМ?cos?t.
Максимальне відхилення частоти відносно частоти сигналу-перенощика називається девіацією частоти:
З формули (5.27) можна виразити індекс фазової модуляції:
Індекс фазової модуляції є одним із параметрів фазо-модульованого сигналу.
Проведемо дослідження спектрального представлення фазо-модульованого сигналу. Для цього використаємо математичну модель фазо-модульованого сигналу в такому вигляді:
Припустимо, що сигнал має нульову початкову фазу, тобто: .
Тоді, використовуючи формулу: , отримаємо:
Розглянемо випадок, коли <<1. Ця умова дозволяє зробити наступні спрощення:
Після відповідних замін вираз (5.29) спроститься до такого виду:
Вираз (5.30) показує, які складові містяться в спектрі фазо-модульованого сигналу (у випадку коли <<1). Покажемо графічно спектральний склад сигналу на рисунку 5.25
Тепер можемо оцінити ширину спектру ФМ-сигналу:

Отриманий результат показує, що при малих значеннях індекса модуляції ширина спектру фазо-модульованого та ширина спектру амплітудно-модульованого сигналів є однаковими.
Розглянемо геометричні моделі АМ- та ФМ-сигналів (див. рис. 5.26 і 5.27).
Вектор на рис. 5.26 відображає складову АМ-сигналу, яка представляє несучий сигнал; та - відповідно вектори, що представляють верхню та нижню бокові складові АМ-сигналу. Вектори та в часі обертаються в протилежні боки на однаковий кут, рівний . Вектор АМ-сигналу має змінну в часі довжину, бо визначається як геометрична сума векторів , та . При цьому положення цього вектора відносно положення вектора несучого сигналу залишається незмінним.
Вектори , та на рис. 5.27 представляють собою відповідно амплітуди несучої складової та амплітуди верхньої та нижньої бічних складових ФМ-сигналу. Оскільки складова є від’ємною, то її вектор буде направлений в протилежну, ніж в АМ-сигналі, сторону. Вектори та обертаються в протилежні сторони з частотою . Тоді вектор ФМ-сигналу буде визначатись геометричною сумою цих трьох векторів. Зміна положення цього вектора відносно положення вектора несучого сигналу відповідає здійсненню фазової модуляції. З рисунку 5.27 а) і б) видно, що процес формування ФМ-сигналу супроводжується зміною довжини вектора. Ця зміна є паразитною амплітудною модуляцією.
5.2.2. Частотна модуляція гармонічного перенощика
Нагадаємо собі, для чого нам потрібна модуляція? Вона потрібна для переносу спектру сигналу у відповідний частотний діапазон.
Сформуємо математичну модель частотно-модульованого (ЧМ) сигналу. У ЧМ-сигналі, на відміну від АМ-сигналу чи ФМ-сигналу, з часом буде змінюватись частота гармонічного сигналу у відповідності із зміною напруги інформаційного сигналу. Математична модель буде виглядати так:
Вираз для миттєвого значення частоти буде мати такий вигляд:
де ?п – частота гармонічного сигналу-перенощика; а - коефіцієнт пропорційності, який перетворює в моделі зміну напруги в зміну частоти (має розмірність [рад/сек•В]).
Введемо поняття “миттєве значення кута”. Миттєве значення кута пов’язане з миттєвим значенням частоти таким співвідношенням:
Тобто миттєве значення частоти - це швидкість зміни кута . З цього виразу отримаємо вираз для миттєвого значення кута:
Підставимо формулу (5.32) в формулу (5.33) і отримаємо вираз, який показує, як змінюється кут в залежності від зміни інформаційного сигналу:
З врахуванням виразу (5.34) математична модель сигналу з частотною модуляцією буде мати такий вигляд:
Для проведення досліджень властивостей ЧМ-сигналу в якості інформаційного сигналу використаємо гармонічний сигнал:
Підставивши (5.36) в (5.32) отримаємо вираз, який представляє миттєве значення частоти:
Добуток aU? представлятиме максимальне відхилення частоти відносно частоти сигналу-перенощика, що в подальшому називатимемо девіацією частоти і будемо позначати . Слово девіація – означає максимальне відхилення деякої величини в ту чи іншу сторону відносно центрального значення. Розрізняють девіацію частоти вверх і вниз по частотній осі. Якщо ці значення девіації рівні, то не наголошують в яку сторону розглядається девіація частоти. Підставляючи (5.36) в (5.35) після перетворень, отримаємо модель частотно-модульованого сигналу при гармонічному інформаційному сигналі:
Відношення девіації частоти до частоти гармонічного інформаційного сигналу є параметром ЧМ-сигналу і називається індексом частотної модуляції . Якщо форма інформаційного сигналу буде відрізнятися від гармонічного (тобто інформаційний сигнал є складним), то для визначення індекса частотної модуляції необхідно знати верхню частоту спектральної характеристики інформаційного сигналу ?в . Тоді вираз для визначення індекса частотної модуляції буде мати такий вигляд:
.
Розглянемо такий параметр частотно-модульованого сигналу як ширина спектру ЧМ-сигналу. Для цього проаналізуємо вираз (5.38).
Якщо mчм<<1, то спектральна характеристика ЧМ-сигналу повторює спектральну характеристику ФМ-сигналу.
Якщо mчм>1, то спектральна характеристика займає значно більший частотний діапазон. Аналіз цього випадку слід розглянути окремо на практичному занятті.
Тут представимо формули для оцінки (наближеного розрахунку) ширини спектру ЧМ-сигналу у випадках, коли індекс модуляції mчм приймає різні значення:
1) Якщо mчм є набагато меншим за 1, тоді ??=2?;
2) Якщо mчм є набагато більш