2.6. Часове представлення математичної моделі неперервних випадкових сигналів
Нагадаємо читачеві основні поняття, які необхідно знати для сприйняття даної теми.
Які сигнали називаються випадковими?
Сигнал вважаємо випадковим, якщо його майбутні значення визначити не можна (рис. 2.19). Кожне значення сигналу прийняте на приймальному пункті, є для адресата випадковим, оскільки адресат наперед не знає змісту інформації, яку несе даний сигнал. Випадковими сигналами також є завади, які перешкоджають надійному прийманню інформаційних сигналів.
Класифікація випадкових сигналів проводиться з метою уніфікувати їх математичні моделі. В практиці побудови моделей випадкових сигналів розрізняють такі їх 4 різновиди:
неперервні;
неперервно-дискретні;
дискретно-неперервні;
дискретні.
В якому вигляді має бути представлена математична модель випадкового сигналу?
Щоб відповісти на це запитання треба його конкретизувати. А саме:
про який сигнал йде мова (розрізняють 4 типи випадкових сигналів, які приведені вище);
яке представлення математичної моделі нам потрібно (часове чи частотне).
Математична модель – це математична функція, яка представляє певну характеристику сигналу.
Побудова математичної моделі сигналу передбачає його часове і частотне представлення. Часове представлення сигналу спостерігають (отримують) за допомогою осцилографа і називають формою сигналу. Для представлення форми сигналу використовують відповідну математичну функцію, яка його повторює. Процедура заміни часового представлення реального сигналу відповідною математичною функцією називають апроксимацією. Такий вид часової математичної моделі неперервного випадкового сигналу називають прямою. В практиці побудови часових математичних моделей випадкових сигналів використовують посередні моделі, мова про які буде йти в параграфі 2.6.4.
Частотне представлення сигналу експериментально отримують за
допомогою селективного вольтметра і називають спектральною характеристикою сигналу.
Виходячи з того, що при розгляді випадкових сигналів маємо справу з випадковими величинами можна здогадатися, що математичний апарат для побудови моделей випадкових сигналів та визначення їх параметрів ми знайдемо в теорії ймовірностей. Наприклад, в теорії ймовірностей для представлення дискретної та неперервної випадкових величин використовується закон розподілу. Закон розподілу для дискретної випадкової величини представляється двома характеристиками: розподілом ймовірностей появи для всіх значень випадкової величини P(s) і функцією розподілу F(s). Відповідно для неперервної випадкової величини – густиною розподілу ймовірностей появи значень випадкової величини p(s) і функцією розподілу F(s).
Чи можна характеристики закону розподілу використати в якості математичних моделей випадкових сигналів?
Нехай ми спостерігаємо за випадковим сигналом протягом деякого часу спостереження tсп. Якщо ми зуміємо знайти математичну функцію, яка представляє цей сигнал, зображений на рисунку 2.20, тоді для побудови математичної моделі можна використовувати спосіб побудови часової математичної моделі для детермінованих сигналів.
Розіб’ємо сигнал на фрагменти, кожен з яких представимо відповідною математичною функцією. Цим ми вирішимо задачу апроксимації:
Ця модель називається прямою. Але ця модель не дає інформації про майбутні значення сигналу. Вона справедлива тільки для того фрагменту сигналу, який отримано за час спостереження tсп. Отже треба шукати інший підхід для представлення математичної моделі випадкового сигналу, яка буде давати певну інформацію про майбутні значення сигналу.
Щоб говорити про таку математичну модель випадкового сигналу, проведемо дослідження його властивостей.
2.6.1. Властивості неперервних випадкових сигналів
Проведемо експеримент із використанням генератора випадкових сигналів (ГВС), який підключаємо до осцилографа (О). Якщо швидкість розгортки осцилографа зробити досить великою, то на екрані можна побачити смугу, свічення якої по вертикалі не є рівномірним. Максимальне свічення буде спостерігатися по центру екрану і при віддаленні від центру в обидва боки буде рівномірно падати. Осцилограма досліджуваного сигналу при відповідній швидкості розгортки осцилографа зображена на рисунку 2.22.

Побудуємо залежність яскравості свічення екрану осцилографа від значення рівня сигналу. Ця залежність буде мати вигляд представлений на рисунку 2.23.
Виконуючи експеримент можна помітити, що розподіл яскравості свічення в смузі з часом практично не змінюється. Яскравість свічення залежить від частоти попадання променя електронно-променевої трубки на люмінофор, яким покритий екран електропроменевої трубки осцилографа. Значення напруги сигналу в кожній точці можна розглядати як випадкові величини. Іншими словами можна сказати, що яскравість свічення смуги визначає відносну частоту появи значень сигналу на різних рівнях. З експерименту можна зробити висновок про те, що випадковий сигнал є статистично стаціонарним, його статистичні показники в часі не міняються.
В побудові математичної моделі випадкового сигналу ми будемо звертатися до теорії ймовірності і теорії випадкових процесів.
Спостерігаючи за екраном осцилографа можна побудувати графік відносної частоти появи значень випадкового сигналу на різних рівнях (рисунок 2.24.)
Відносна частота появи значення випадкового сигналу представляє ймовірність появи значення сигналу на певному рівні. Щоб визначити цю ймовірність необхідно вести спостереження, і вона буде рівна відношенню кількості появ сигналу на певному рівні, до загальної кількості появ сигналу на всіх рівнях.
2.6.2. Ймовірнісна часова математична модель неперервного випадкового сигналу
В теорії ймовірностей для випадкових величин існує характеристика, яка називається законом розподілу. В нашому випадку значення сигналу розглядаються як неперервна випадкова величина і тому закон розподілу необхідно представляти густиною розподілу ймовірностей появи значень випадкового сигналу. Густина розподілу ймовірностей появи значень випадкового сигналу дозволяє визначити ймовірність його появи на певних рівнях в деякому інтервалі.
Стандартні закони розподілу в математиці є представлені відповідними функціями. Характеристика випадкового сигналу, зображена на рисунку 2.24 може бути представлена нормальним законом розподілу.
Нормальний закон розподілу представляє функція Гаусса (2.2.):

де ?2 - дисперсія;
- математичне сподівання;
s - біжуче значення сигналу, яке змінюється в діапазоні існування сигналу.
З’ясуємо, як впливає зміна параметрів на форму характеристики p(s).

На рисунку 2.25. показано, як зміниться крива закону розподілу при зміні математичного сподівання. Крива 1 відповідає випадку, коли , а крива 2 відповідає випадку із . Тобто при зміні математичного сподівання характеристика закону розподілу зсувається по осі s.
Густина розподілу ймовірності по своїй суті не може мати від’ємних значень, вона завжди додатня і для неї є справедлива така рівність:

З формули 2.22 випливає, що площа під кривою рівна 1, а отже із зміною дисперсії площа не повинна змінюватися, а крива або звузиться, або розшириться.
Як визначається ймовірність появи сигналу в заданому інтервалі, якщо є відомою його математична модель представлена густиною розподілу ймовірностей?
Ймовірність появи значення сигналу в певному інтервалі можна визначити наступним чином (дивись рисунок 2.26). Формула для визначення ймовірності появи сигналу s в інтервалі від s1 до s2 має такий вигляд:

Для визначення ймовірності появи значень випадкового сигналу, які перевищать рівень s2 треба скористатися властивістю характеристики p(s) (дивись формулу 2.22):

Другою характеристикою закону розподілу є функція розподілу F(s), яка показує ймовірність появи випадковаї величини в інтервалі від до s. Густина розподілу ймовірності зв’язана з функцією розподілу таким чином:

Нагадаємо властивості функції розподілу F(s) (рисунок 2.27):
функція розподілу завжди є більшою за 0 і ніколи не перевищує 1;
функція розподілу завжди є монотонно зростаючою.
З чого треба починати побудову математичної моделі випадкового сигналу?
При побудові математичної моделі випадкового сигналу первинним повинен бути експеримент, з допомогою якого ми визначаємо відносну частоту появи значень випадкового сигналую. Потім треба знайти функцію, яка буде повторювати цю характеристику. Далі цю функцію треба перетворити в густину розподілу ймовірності p(s). Щоб функція представляла цю характеристику, треба щоб вона відповідала всім її властивостям.
При розгляді сигналів разом з характеристиками, використовуються їх параметри. А яка ж різниця між характеристикою і параметром?
Різниця між характеристикою і параметром є в тому, що характеристика – це залежність між величинами, а параметр – це число.
Мате