1. Подвійний інтеграл 1.1 Поняття подвійного інтеграла. Нехай функція z = f(x,y) = f(P) визначена в обмеженій області D площини Оху. Розглянемо довільне розбиття області D, що являє собою зображення D у вигляді об'єднання підобластей які не перетинаються (елементарних областей). Площі цих областей позначимо через, а діаметри - через (діаметром області називається найбільша із віддалей між двома точками межі цієї області). Для зручності будемо говорити, що ми провели Т-розбиття області D. Виберемо в кожній з елементарних областей Т- розбиття довільну точкуі складемо суму (1.1)
яку будемо називати інтегральною сумою функції f(P) за областю D, яка відповідає Т— розбиттю. Розглянемо довільну послідовність інтегральних сум, складених для функції f(P) за даною областю D (1.2) при різних способах- розбиття області D на елементарні області. Назвемодіаметром розбиття. Зрозуміло, що коли, то числоелементарних областей- розбиття прямує до Означення. Якщо границя послідовності інтегральних сум (1.1) для функції / існує при будь-якому способі прямуваннядо нуля і будь-якому виборі точоку кожній елементарній області, то значення цізї границі називається подвійним інтегралом функції f(x, у) по області D і позначається
де da- елемент площі. Функція f(P) при цьому називається інтегрованою в області D. Геометричний зміст інтеграла. Якщо f(Р) > 0 в області D, то подвійний інтеграл (1.3) дорівнює об'єму циліндричного тіла з основою D, обмеженого зверху поверхнею z = f(?), а збоку циліндричною поверхнею, яка проходить через межу області D з твірними, паралельними осі ?z. 1.2. Основні властивості подвійного інтеграла. 1°. Лінійність. Для будь-якихі будь-яких інтегрованих в області D функцій f, g справедлива рівність
2°. Адитивність. Якщо область інтегрування D розбити на дві підобласті> то
30 Якщо в усіх точках області інтегрування D функції f(Р) і задовольняють умову, то
4°. Оцінка подвійного інтеграла. Якщо функція f(Р) в точках області інтегрування D задовольняє нерівності т <= f(P) <M, то
1 де S— площа області D, а m і М- відповідно найменше і найбільше значення функції f(P) в області D. 5°. Теорема про середнє. Подвійний інтеграл дорівнює добутку значення підінтегральної функції в деякій точці ? області інтегрування D на площу S цієї області, тобто
1.3. Правила обчислення подвійних інтегралів. У прямокутній системі координат елемент площі d? записується у вигляді, отже
Розглянемо деякі важливі області інтегрування, 1°. Область інтегрування D площини Оху обмежена зліва і справа відрізками прямих, (або точками), а знизу і зверху - неперервними кривими і і, кожна з яких перетинається прямою паралельною осі Оу в межах відрізка [а, b] тільки в одній точці (рис. 1.l)«
Таку область називають правильною відносно напрямку осіОу. Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою ? (1.4) причому обчислюється внутрішній інтеграл
в припущені, що змінна ? зберігав на відрізку [а, b] зафіксоване стале значення. Інтеграл (1.4) називається повторним інтегралом Повторний інтеграл для зручності записується у вигляді (1.5) 2° Область інтегрування D площини Оху обмежена знизу і зверху відрізками прямих у = с і у =: d(c < d) (або точками), зліва і справа -неперервними кривими> кожна з яких перетинається прямою паралельної осі Ох в межах відрізка [c,d] тільки в одній точці (рис. 1.2).
Така область інтегрування називається правильною відносно осі Ох. Подвійний інтеграл для правильної області інтегрування відносно осі Ох (рис. 1.2) зводиться до повторного інтеграла і обчислюється за формулою
причому спочатку обчислюється внутрішній інтеграл для будь- якого фіксованого значення у € [c,d]. І Зауваження. У більш загальному випадку при обчисленні і подвійних інтегралів область інтегрування розбивають на правильні області (при цьому використовують властивість адитивності інтеграла) Зауваження, Якщо область інтегрування D правильна одночасно відносно обох осей Оу і Ох то можна використати будь-яку з формул (1.5), (1.6). 1.4. Подвійний інтеграл в полярній системі координат. І Полярні координати. У полярній системі координат розташування точки ? на площині QXY визначається її віддаллю ? від початку координат (довжина радіус-вектора точки) і кутом ? між радіус-вектором точки та додатним напрямком осі ОХ. Перехід у подвійному інтегралі від прямокутної системи координат х,у до полярних р,у пов язаних між собою співвідношеннями , здійснюєтьтся- з ся за формулою
- елемент площі в полярній системі координат, Зауваження. При зведенні подвійного інтеграла (1.7) до повторного інтеграла рекомендується завжди внутрішній інтеграл обчислювати за змінною р, а зовнішній - за ?. Якщо полюс (початок координат) лежить поза областю інтегрування D яка обмежена двома променямиі двома кривими (рис. 1.3), то подвійний інтеграл обчислюється за формулою
Тут ?1(?) і ?2(?), ?1(?) < ?2(? - неперервні однозначні функціїпри a<=?<=b а кожна з кривих, що їм відповідають перетинається полярними променями тільки в одній точці (рис. 1.3). Якщо полюс розмішений всередині області інтегрування довільний полярний радіус-вектор перетинає межу області D, рівняння якої ? = ?(?), в одній точці (рис. 1.4), то
1.5. Застосування подвійного інтеграла до задач геометрії, фізики і механіки. 1°. Площа плоскої обмеженої області D обчислюється за формулою
2°. Об'єм циліндричного тіла, обмеженого зверху неперервною поверхнею z = f(x,y) знизу площиною z = 0, а збоку циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі Oz що вирізає на площині Оху область D, обчислюється за формулою
3°. Якщо гладка поверхня задана рівнянням z = f(x,y) , то площа її поверхні виражається формулою
де Dxy— проекція заданої поверхні на площину Оху. 4°. Якщо пластина займав область D площини Оху і мав змінну густину z = f(x,y) то маса пластини виражається подвійним інтегралом
Коли пластина однорідна, то z = f(x,y) = const. 5°. Статичні моменти пластини відносно осей Ох і Оу відповідно обчислюються за формулами
8°. Координати центра ваги пластини виражаються формулами
г 7?. Моменти інерції пластини відносно осей Ох і Оу відповідно : подаються подвійними інтегралами
8°. Момент інерції пластини відносно початку координат виражається формулою
1.6. Розв'язування типових прикладів. Приклад 1°. Змінити порядок ітегрування в подвійному інтегралі
Розв'язування. Область інтегрування D обмеже- НІ на лініями 2 (рис. 1.5).
Якщо змінити порядок інтегрування, то зовнішній інтеграл буде обчислюватись за змінною х Область інтегрування правильна як за напрямком осі Ox, так і за напрямком осі Оу. Тому
Приклад 2°. Змінити порядок інтегрування в подвійному інтегралі
рис1.6 Розв’язування. Область інтегрування D обмежена лініями х=0, x=1, у = х, у = 2 - х2 (див. рис. 1.6). Якщо змінити порядок інтегрування, то зовнішній інтеграл буде обчислюватись за змінною у, але область інтегрування D відносно осіОх розіб'ється на дві (другого виду): D1 обмежена зліва і справа - у для 1 <= у <= 2. Тому лініями x = 0 і x = у цля 0 <= у =< 1, та D2, обмежена зліва відповідно лініями x = 0 і x = 2
Приклад 3°. Обчислити подвійний інтеграл якщо область інтегрування обмежена параболами (див рис. 1.7). Розв'язування. Область інтегрування правильна відносно обох осей Ох і Оу. Застосуємо формулу (1.5), поклавши а = 0, b =1, і / Отримаємо Обчислюємо спочатку внутрішній інтеграл при фіксованому х :
Отриманий вираз інтегруємо за змінною х :
рис. 1.7. Приклад 4°. Обчислити площу фігури, обмеженої колом і кардіс їдою, (площа розміщена зовні кардіоїди (рис. 1.8)). Розв'язування. Знайдемо координати точок перетину заданих ліній, розв'язуючи систему рівняь і . У результаті отримаємо . Таким чином, використавши формулу (1.8), маємо
рис. 1.8. Приклад 5°, Обчислити за допомогою подвійного інтеграла об'єм тіла, обмеженого поверхнями z = 4-у2, у = х2/2 і площиною z = 0 (рис. 1.9). рис. 1.9. Розв'язування. Дане тіло обмежене зверху поверхнею х= 4- у2. Область інтегрування D в площині Оху обмежена параболою і прямою у = 2. Оскільки тіло симетричне відносно площини Оуz обчислюється половина шуканого об’єму:
Тому V = 256/21 = 12,2 куб. од. ' Приклади 60. Обчислити об'єм тіла V, вирізаного з півкулі радіуса ? циліндричною поверхнею, у якої діаметр рівний радіусу кулі, а одна з твірних співпадає з віссю півкулі (див. рис. 1.10). Розв'язування. Шуканий об'єм буде виражатись інтегралом
де межа області D- коло у2 + (х – a/2 )2 = a2/4.
Обчислення в прямокутних координатах громіздке. Переходячи до полярних з полюсом в центрі кулі, отримаємо
Приклад 7. Обчислити за. допомогою подвійного інтегралаплощу частини параболоїда 2z = x2 - у2, що розміщена всерединіциліндра
