Модель фон-Неймана
В моделі фон Неймана розглядається скінчений набір виробничих процесів вигляду
, де n-вимірний вектор описує витрати, а n-вимірний вектор описує випуск продукції при функціонуванні даного процесу з одиничною інтенсивністю,

Виробничі процеси будемо називати базисними ,
Введемо до розгляду прямокутні матриці . Вектори
є стовпцями матриць А і В відповідно.
Кажуть, що технологію моделі задає пара невід’ємних матриць , де -матриця витрат, а
- матриця випуску.
На підставі базисних процесів побудуємо новий процес, в якому витрати і випуск є лінійною. комбінацією відповідних векторів .
(1)
, вектор інтенсивностей.
Будемо при цьому говорити, що -тий базисний процес приймає участь в процесі з інтенсивністю .
Літерою с позначимо множину процесів
(2)
Модель Леонтьєва є частковим випадком моделі фон Неймана при n=m, B=I.
Опишемо динаміку моделі Фон-Неймана.
Припущення 1: модель фон-Неймана лінійна.
Через будемо позначати вектор інтенсивностей, який описує функціонування моделі на проміжку .
Будемо розглядати Т періодів часу.
В кожному із періодів для виробництва продукції застосовуємо один з процесів з множини С. Він характеризується певним вибором вектора інтенсивностей. .
Припущення 2: модель Неймана – замкнута
Це означає, що для виробництва в період ми можемо використовувати тільки ту продукцію, яка вироблена в попередньому періоді .
Оскільки випуск в період належить , а витрати в наступний період належать , то відповідно припущення про замкнутість набуває вигляду
(3)
Це є послідовність векторних нерівностей. При цьому природно вважати , що вектор є вектором записів, які є в нашому розпорядженні в період .
Означення 1: Послідовність векторів інтенсивностей {}, які задовольняють системі нерівностей (3) будем називати планом або траєкторією інтенсивностей.

Введемо в модель ще поняття цін на товари. Через позначимо ціну одиниці -го продукту в період , а відповідний n-вимірний вектор цін через -
Прибуток процесу за період будемо визначати як
При цьому ми вважаємо на початку періоду ціну на сировину рівною а випущену продукцію реалізуємо вже за цінами нового періоду .
Припущення 3: Жоден з базисних процесів не дає додатного прибутку . , тобто
(4)
Це припущення називається практикою нульового прибутку, або практикою безприбуткового виробництва.
Це припущення дещо парадоксальне. Воно містить своєрідне припущення щодо замкнутості моделі : із зростанням загального числа товарів, грошова маса не збільшується
Означення 2: Послідовність векторів цін, які задовольняють систему нерівностей (4) будем називати траєкторією цін.
Припущення 4: Загальна грошова маса не змінюється і весь час знаходиться в обігу, тобто
(5)
(6)
Означення 3: Траєкторія інтенсивностей наз стаціонарною, якщо для деякого , тобто є геометричною прогресією зі знаменником або .
Означення 4: Траєкторія цін наз стаціонарною, якщо для деякого маємо: або .
Підставимо вирази та у векторні нерівності (3) і (4) відповідно.
Приходимо до наступних тверджень.
а) Послідовність інтенсивностей буде стаціонарною коли справедлива нерівність (7)
б) Послідовність цін буде стаціонарною коли для виконується нерівність (8)
Зазначимо, що для стаціонарних траєкторій і співвідношення (5), (6 з припущення 3 набувають такого вигляду) відповідно, отримаємо
(9)
(10)
Таким чином математична модель Неймана описується двома нерівностями (3), (4) і двома рівностями (5), (6) для яких аналогами є (7), (8) та (9), (10).
Динамічна рівновага в моделі Неймана
Означення1: Будемо говорити, що модель Неймана знаходиться в стані динамічної рівноваги, якщо існує такий набір , де - числа, - вектори, причому , , для яких виконуються умови:
(1)
Число - вартість затрат в стані рівноваги в моделі Неймана, де складовими є -вектор цін, -вектор інтенсивностей.
Природно вважати, що . Але тоді з двох останніх рівностей будемо мати
Означення 2: Трійка ,де число , вектори , така, що
(2)
(3)
(4)
називається невиродженим положенням рівноваги в моделі Неймана.
Означення 3: Розглянемо множину векторів (промінь) , де є компонентою невиродженого положення рівноваги моделі Неймана. Такий промінь називається променем Неймана.
Цікаво знати, чи має система (2), (3), (4) розв’язок, тобото, чи існує не вироджене положення рівноваги моделі Неймана, породженої парою матриць (А,В). При певних обмеженнях на ці матриці відповідь на це питання містить
Теорема 1 (про умови існування невиродженого положення рівноваги моделі Неймана):
Нехай - матриця затрат, - матриця випуску, , . В матриці немає нульових стовпців, в матриці - нульових рядків. Тоді модель Неймана має не вироджене положення рівноваги, або система (2-4) має розв’язок.
Економічне тлумачення
*) умова означає, що ми не маємо серед базисних процесів, таких, які нічого не витрачають (відсутній „ріг достатку”).
**) умова означає, що в нашій системі (система замкнута) виробляється всякий продукт.
Доведення
Спочатку розглянемо допоміжну задачу лінійного програмування
(5)
де - числовий параметр,
- змінні задачі,

Лема 1: Якщо - значення задачі (5), то:
(*). - неперервна функція, залежна від параметра;
(**) ;
(***) , якщо ;
(****) - монотонна незростаюча функція;
Доведення
Нехай . Множина Х, очевидно, обмежена і замкнена. Значить і множина також обмежена і замкнена множина.
Значення задачі (5) має вигляд:
(6)
Існування такого скінченного випливає з обмеженості і замкнутості множини . Тобто для будь-якого задача лінійного програмування (5) має розв’язок , тобто функція визначена на всій дійсній осі.
Неперервність цієї функції випливає з загальних властивостей задач лінійного п