Множини
2.1. Основні поняття теорії множин
Поняття множини належить до категорії найзагальніших, основоположних понять математики. Відповісти на питання «Що таке множина?» не так просто, як це здається на перший погляд. У повсякденному житті та практичній діяльності часто доводиться говорити про деякі сукупності різних об’єктів: предметів, понять, чисел, символів тощо. Наприклад, сукупність сторінок у книзі, сукупність книг у бібліотеці, сукупність об’єктів, які складають основні фонди підприємства, сукупність характерних рис приватного підприємства, сукупність об’єктів і суб’єктів господарської діяльності, сукупність законодавчих актів, які регулюють економічні відносини.
На підставі інтуїтивних уявлень про будь-які подібні чітко визначені сукупності об’єктів сформувалося математичне поняття множини як об’єднання об’єктів у єдине ціле. Саме такої точки зору дотримувався засновник теорії множин німецький математик Георг Кантор. Група математиків, які працювали під псевдонімом Н.Бурбаки, стверджувала: «Множина утворюється з елементів, що мають певні властивості і знаходяться у певних відношеннях між собою чи з елементами інших множин».
Математичне поняття множини пов’язане з абстракцією, яку називатимемо абстракцією множини. Суть її полягає в тому, що всі існуючі властивості і зв’язки предметів не розглядаються, відокремлюються лише одна або кілька властивостей або зв’язків, які виражають належність цих предметів до деякої множини. Якщо ми розглянемо множину співробітників планово-економічного відділу деякої організації, то елементами цієї множини є конкретні люди, які працюють в цьому відділі. Всі властивості цих людей ігноруються за виключенням однієї властивості – бути співробітником планово-економічного відділу. Об’єкти, що утворюють множину, називаються її елементами, або членами. Множина є визначеною, коли можна встановити, чи є будь-який об’єкт її елементом або ні. Наприклад, якщо ми розглядаємо множину студентів групи 1ЕК1, то всі властивості (молодих людей, які складають групу 1ЕК1) і зв’язки з іншими множинами ігноруються, відокремлюється лише зв’язок з групою 1ЕК1, тобто властивість бути саме студентом саме групи 1ЕК1.
Якщо ми розглянемо множину студентів, яка знаходиться кожного вівторка весняного семестру на другій навчальній парі, в аудиторії 402 третього корпусу ХДТУ, то виявиться, що цю множину складають ті самі студенти групи 1ЕК1, що і тільки що розглянуту множину. Хоча для елементів цієї множини основним є зв’язок з певною аудиторією в певний час. Але в цій аудиторії в цей час знаходяться саме студенти групи 1ЕК1, хоча зараз не важливо, що це студенти групи 1ЕК1, важливим є лише те, що ці студенти знаходяться саме в даній аудиторії в даний час, тобто відокремлюється зв’язок саме з аудиторією в даний час. Іншими словами одні й ті самі об’єкти можуть одночасно бути елементами різних множин.
Для позначення конкретних множин використовують великі літери /,/,/,... або великі літери з індексами /, / і т. д. Для позначення елементів множин загалом застосовують малі літери /, /, /, ... або малі літери з індексами /, / і т.д.
Для позначення того, що / є елементом множини / (тобто / належить /), будемо застосовувати запис /, а запис / означатиме, що елемент / не належить множині /. Записом / користуються як скороченням для запису /. Символ / називається символом належності.
Приклад 2.1. Наведемо ще кілька прикладів множин:
?  Множина натуральних чисел, які є меншими за 15. Позначимо її /;
?  Множина цифр десяткової системи. Позначимо її /;
?  Множина цифр двійкової системи. Позначимо її /;
?  Множина парних чисел. Позначимо її /;
?  Множина видів навчальних занять студентів. Позначимо її /.
Таким чином, ми дійшли проблеми задання множин. При цьому наведені вище приклади множин задають описи характеристичних властивостей, які повинні мати їхні елементи.
2.1.1. Способи подання множин
Є кілька способів подання множин.
1. Вербальний (словесний) за допомогою опису властивостей, які повинні мати елементи множин.
2. Список (перелік) усіх елементів у фігурних дужках.
Приклад 2.2. Стосовно зазначених вище прикладів маємо:
?  /;
?  /;
?  /;
?  /.
?  /, де
/ – лекції;
/ – лабораторні роботи;
/ – практичні заняття;
/ – індивідуальна робота;
/ – самостійна робота.
3. Предикатний (висловлювальний, породжувальний) за допомогою предиката, тобто множина задається у вигляді / або /, де / набуває значення «істина» для елементів множини.
Приклад 2.3. Приклади предикатів:
?  / – натуральне число, яке менше за 15};
?  / – цифра десяткової системи};
?  / – цифра двійкової системи/;
?  / – парне число/;
?  / – від навчальних занять студентів}.
4. За допомогою породжувальної процедури, яка описує спосіб отримання елементів множини із вже існуючих або інших об’єктів, якщо такий спосіб існує. Елементами множини є всі об’єкти, які можуть бути створені за допомогою цієї процедури. Частіше за все породжуючи процедура задається рекурсивними правилами.
Приклад 2.4. Задамо породжуючі процедури для раніше наведених прикладів:
?  для множини /:
а) /; б) якщо /, то / теж /, поки /;
?  для множини /:
а) /; б) якщо /, то теж /, поки /;
?  для множини B:
а) /; б) якщо /, то / теж /, поки /;
?  для множини /:
а) /; б) якщо /, то / теж /;
?  для множини /  породжуючої процедури не існує, тому що не зрозуміло яким чином можна отримати наступний елемент із вже існуючих.
5. Аналітичний (за допомогою формул). Про цей спосіб далі.
Із наведених прикладів випливає, що множини бувають скінченими та нескінченними. Множини називають скінченими, якщо число їх елементів скінчене, тобто існує натуральне число /, яке є числом елементів множини. Множини називають нескінченними, якщо вони містять /нескінченне число елементів.
Введені вище поняття теорії множин з успіхом можуть бути використані в основах аналізу, алгебрі, математичній логіці, економіці, та ін. Однак при більш строгому розгляді такі інтуїтивні уявлення можуть виявитися незадовільними. Недосконалість інтуїтивних уявлень про множини, їх недостатність ілюструється, наприклад, відомим парадоксом Б.Рассела, який формулюється таким чином. Розглянемо множину / всіх таких множин /, що / не є елементом /. Тоді, якщо / не є елементом /, то за означенням /  також є елементом /. З іншого боку, якщо / є елементом /, то / – одна з тих множин /, які не є елементами самих себе, тобто /  не є елементом /. У будь-якому випадку / є елементом / й / не є елементом /. Парадокс Рассела частіше за все формулюють у вигляді запитання: “Чи голить себе цирульник, який голить тих, хто не голиться сам?”, на яке не існує відповіді.
Цей парадокс свідчить про те, що теорія множин, яка широко використовується в її інтуїтивному, «наївному» викладі, є суперечливою. Формалізація теорії множин, пов’язана, зокрема, з усуненням парадоксів, сприяла розвитку не тільки методів теорії множин, а й математичної логіки.
Приклад 2.5. Наведемо приклади інших множин:
За колишньою марксистською класифікацією функціональною основою розвитку людського суспільства є матеріальне виробництво, яке як множина, позначимо її /, складається з трьох елементів, які теж є множинами: /, де
/ – множина робочих ресурсів,
/ – множина предметів праці,
/ – множина засобів праці.
В свою чергу / множина, яка називається множиною продуктивних сил.
Множина / засобів виробництва складається з двох елементів: /  – множини предметів праці і / – множини засобів праці:
/.
За ринковою класифікацією, яка панує зараз, множина економічних ресурсів /, тобто ресурсів, які використовуються для виробництва товарів і послуг, складається з двох елементів:
/, де
/ – множина матеріальних ресурсів,
/ – множина людських ресурсів.
2.1.2. Порожня множина
У теорії множин використовується поняття порожньої множини. Позначається вона символом ?.
Множина може взагалі не містити елементів, наприклад
/ – непарне число, що ділиться на /;
/.
Для позначення цього факту вводиться поняття порожньої множини.
Це поняття відіграє дуже важливу роль при заданні множин за допомогою опису. Так, без поняття порожньої множини не можна говорити про множину відмінників групи спеціальності “Економічна кібернетика” або про множину дійсних коренів квадратного рівняння, не пересвідчившись заздалегідь, чи є взагалі в студентській групі відмінники або чи має задане рівняння дійсні корені. Поняття порожньої множини дає змогу оперувати множиною відмінників групи, не піклуючись про те, чи є відмінники в групі, яка розглядається. Теж саме стосується й множини дійсних коренів квадратного рівняння. Порожню множину умовно будемо відносити до скінченних множин. Можна довести, що порожня множина єдина.
Таким чином, уведення порожньої множини дає можливість оперувати будь-якою множиною без попереднього застереження, існує вона чи ні.
2.1.3. Операції над множинами
Розглянемо дві множини А та В і введемо кілька операцій над ними. Для графічної ілюстрації будемо використовувати кола Ейлера. Для зображення множини на площині креслять замкнену лінію із заштрихованою внутрішньою областю (найчастіше – це коло, звідси й назва відповідного інстр