§1. Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття.
Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Варто відзначити, що математичний підхід до вивчення випадкових явищ намагалися знайти ще в стародавньому Китаї, Римі, Греції. В середні віки намагалися застосувати точні методи в задачах, пов’язаних з азартними іграми. Проте початки теорії ймовірностей як математичної науки були закладені в XVII ст. в працях Б.Паскаля, П.Ферма, Х.Гюйгенса, Я. Бернуллі. Пізніше, у XVIII-XIXст. розвиток теорії ймовірностей був викликаний задачами теорії стрільби, теорії похибок, проблемами демографії, тощо. Значного розвитку теорія ймовірностей досягла в XIX-XX ст .завдяки працям А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона, П.Чебишова, А.Маркова, А.Колмогорова та інших вчених.
В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації, статистичній фізиці, математичній статистиці та інших галузях знань.
Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття:
стохастичного експерименту,
випадкової події,
ймовірності випадкової події.
Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед.
Стохастичниму експерименту ставиться у відповідність деяка множина , точки (елементи) якої відображають найбільш повну інформацію про можливі результати цього експерименту.
Множина називається простором елементарних подій, а її точки (елементи) - елементарними подіями. Множина може бути дискретною (скінченною або зчисленною) або неперервною.
Приклад 1. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають один раз.
Очевидно, результатом цього експерименту будуть дві елементарні події: поява герба “Г”, або поява цифри “Ц”. Отже, тут простір елементарних подій ={Г, Ц}.
Приклад 2. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають два рази.
Очевидно, що ={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}.
Приклад 3. Проводиться стохастичний експеримент – гральний кубик підкидають один раз. Результатом цього експерименту є простір елементарних подій ={},
де - елементарна подія: “кількість очок на верхній грані кубика”.
У наведених прикладах простір є скінченною множиною. Проте в багатьох задачах доводиться мати справу з експериментами, які мають нескінченну кількість можливих наслідків.
Проводячи експеримент, нас буде цікавити не те , який конкретно наслідок матиме місце в результаті спроби, а лише те, чи буде належати цей наслідок тій чи іншій множині всіх наслідків, можливих в результаті проведення даного експерименту.
Класифікація подій та дії над ними.
Підмножини , для яких за умовами експерименту можлива відповідь одного з двох типів: “наслідок “ або “наслідок ” називаються випадковими подіями.
Зокрема, в прикладі 2 подія А : “герб з’явиться принаймні один раз”. Підмножина
А={ГГ, ГЦ, ЦГ} містить три елементи з множини , тобто подія А складається з трьох елементарних подій.
В прикладі 3 подія А: “при підкиданні кубика випаде парне число очок” – А={}.
Як бачимо, випадкова подія є підмножиною А простору елементарних подій .
Множина , яка трактується як подія, характерна тим, що в результаті експерименту вона обов’язково відбувається при виконанні певної сукупності умов, називається вірогідною подією.
Підмножиною довільної множини вважається порожня множина Ø, яка не містить жодної точки з , тобто така подія в експерименті не відбувається , вона називається неможливою подією і позначається Ø.
Подія (читається “не А”) називається протилежною події А. Якщо в прикладі 1 подія А – поява герба, то подія - поява цифри.
Нехай А і В – випадкові події. Якщо АВ (тобто кожний елемент А міститься в В), то це означає, що подія А тягне за собою подію В. Іншими словами, якщо подія А відбувається, то подія В теж відбувається, тобто подія В є наслідком події А. Якщо АВ і ВА, то події А і В називаються рівносильними (еквівалентними): А=В.
Об’єднанням (сумою) двох подій А і В називається подія АВ (або А+В), яка полягає в тому, що відбулася принаймні одна з подій А або В.
Перетином (суміщенням або добутком) двох подій називається подія А (або А·В), яка полягає в тому, що відбулася і подія А і подія В.
Різницею А\В називається подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А, а В не відбулася.
Доповнення множини А позначається =\А, де - подія, протилежна події А.
Операції над подіями зручно ілюструвати з допомогою діаграм Ейлера-В’єнна.
Події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто
АВ Ø.

Наприклад, нехай подія А: “поява туза при вийманні карти з однієї колоди”, подія В: “поява туза при вийманні карти з іншої колоди”. Ці події сумісні.
Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто
АВ= Ø.
Наприклад, нехай подія А: “неробочий хід генератора”, подія В: “коротке замикання генератора”. Ці події несумісні.
Події називаються попарно несумісними, якщо Ø ().
Повною групою несумісних подій називається сукупність (скінченна або нескінченна) попарно несумісних подій, причому в результаті експерименту з’явиться тільки одна з цих подій, тобто

= Ø (),
.
Пара взаємно протилежних подій і утворює повну групу подій.
Дійсно, = Ø, .
Операції об’єднання і перетину подій мають очевидні властивості:
. комутативність , АВ=ВА;
. асоціативність , (АВ)С=А(ВС);
. дистрибутивність , .
Частота випадкової події.
Розглянемо деякий стохастичний експеримент, який можна повторити скільки завгодно разів, і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Нехай ми повторили експеримент n разів, і - число спроб, в яких відбулася подія А.
Відношення називається частотою події А в даній серії експериментів.
Частота має такі властивості:
. .
.
. (Ø)=0.
. , де А, В – дві несумісні події.
Частота може бути обчислена після того, як проведена серія експериментів. Якщо проведемо іншу серію експериментів, або збільшимо n, то частота, взагалі кажучи, зміниться.
1.3. Статистичне означення ймовірності.
Досвід показує, що для досить великих значень n частота зберігає майже сталу величину в даному експерименті. В цьому полягає стійкість частот для великих n.
Границя частоти при необмеженому збільшенні числа спроб n називається ймовірністю події А

.
Таке означення ймовірності називається статистичним. Для підрахунку ймовірності воно не використовується, оскільки для цього потрібно провести досить багато експериментів, що не раціонально і економічно невигідно.
1.4. Класичне означення ймовірності.
Класичне означення ймовірності зводить поняття ймовірності до поняття рівноможливості елементарних подій, яке вважається таким, що не має формального означення. Нехай
складається з n елементарних подій , а подія А визначається m елементарними несумісним