РОЗДІЛ 3 ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ВЕКТОРИ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ Розглядаємо ймовірнісний простір . Означення. Відображення називається випадковою величиною, якщо . Теорема. Якщо і є випадкові величини, то ( – невипадкова величина), , – випадкові величини. Означення. Функцією розподілу випадкової величини називають функцію Властивості функції розподілу: 1. 2. Функція розподілу неперервна зліва. 3. Функція розподілу монотонно неспадна. 4. , 5. . Приклад. Двічі підкидають симетричну монету. Випадкова величина – кількість випадань герба. Побудувати функцію розподілу випадкової величини . Розв’язування. Випадкова величина може набувати значення . Знайдемо ймовірності
Очевидно, що ¦ Приклад. Спортсмен влучає в мішень до першого попадання в “”. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює Випадкова величина – кількість пострілів. Знайти функцію розподілу. Розв’язування. У даному випадку випадкова величина набуває значення із ймовірностями Тоді ¦ Означення. Випадкова величина називається дискретною, якщо вона набуває скінченну або зліченну кількість значень. Дискретна випадкова величина характеризується значеннями, які вона набуває і ймовірностями з якими набуваються ці значення. Означення. Значення дискретної випадкової величини і відповідні ймовірності називаються розподілом дискретної випадкової величини або законом розподілу дискретної випадкової величини. Розподіл дискретної випадкової величини зручно подавати у вигляді таблиці
Якщо значення випадкової величини можна впорядкувати, то значення записують у порядку зростання. Функцію розподілу дискретної випадкової величини можна записати наступним чином:
Означення. Випадкова величина називається неперервною, якщо її функція розподілу є неперервною функцією. Означення. Випадкова величина називається абсолютно неперервною, якщо існує функція така, що . Функція називається щільністю розподілу випадкової величини . Властивості щільності: 1. . 2. у всіх точках, де ця похідна існує. 3. 4. Означення. Випадкова величина називається сингулярною, якщо її функція розподілу є неперервною функцією, але не існує точки, де б існувала щільність. Теорема. Для довільної випадкової величини існує представлення де – деякі константи, – дискретна випадкова величина, абсолютно неперервна випадкова величина, – сингулярна випадкова величина, а константи зв’язані співвідношенням Приклад. Дано функцію розподілу абсолютно неперервної випадкової величини
Знайти щільність . Розв’язування. Згідно з другою властивістю щільності у всіх точках, де ця похідна існує. Тому ¦ Приклад. Дано щільність абсолютно неперервної випадкової величини
Знайти невідомий параметр і функцію розподілу. Розв’язування. Згідно з другою властивістю Очевидно,
, . Переходимо до функції розподілу. За означенням маємо . Якщо то . Тому =. Нехай , ;
. Якщо то
. Остаточно функція розподілу має вигляд ¦ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН Розглядаємо дискретну випадку величину яка набуває значення відповідно з ймовірностями Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають число за умови, що цей ряд збігається абсолютно. Приклад. Нехай дано розподіл дискретної випадкової величини
Знайти математичне сподівання. Розв’язування. Оскільки , то у даному випадку
. ¦ Далі дамо означення математичного сподівання для абсолютно неперервної випадкової величини. Нехай випадкова величина є абсолютно неперервною і її щільність дорівнює . Означення. Математичним сподіванням абсолютно неперервної випадкової величини називають число
за умови, що цей інтеграл збігається абсолютно. Приклад. Дано щільність абсолютно неперервної випадкової величини
Знайти математичне сподівання. Розв’язування.
. ¦ Якщо випадкова величина де – абсолютно неперервна випадкова величина, – дискретна, то Означення. Випадкові величини і називаються незалежними, якщо . Властивості математичного сподівання: Якщо то Якщо то Якщо для випадкової величини існує математичне сподівання а , то для випадкової величини існує математичне сподівання і Якщо для випадкових величин існують математичні сподівання то для випадкової величини існує математичне сподівання і Якщо існують то Якщо для випадкової величини існує математичне сподівання, то існує і Якщо для випадкових величин існують , то Якщо випадкові величини і незалежні, то . Нерівність Чебишова. Якщо випадкова величина є невід’ємна і для неї існує математичне сподівання, то для довільного числа виконується нерівність . Очевидно, якщо – дискретна випадкова величин