РОЗДІЛ 2 ВИПАДКОВІ ПОДІЇ ПРОСТІР ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ Розглядаємо випадкове явище (проводиться стохастичний експеримент). Множина, яка містить найбільш повну інформацію про всеможливі результати, називається простором елементарних подій і позначається . Нерозкладні результати називають елементарними подіями і позначаються . Довільна підмножина з або будь-який результат експерименту називається випадковою подією. Випадкові події прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту. Якщо то говорять, що елементарна подія сприяє події . Означення. Подія, яка в умовах даного стохастичного експерименту обов’язково відбудеться, називається достовірною подією і позначається . Достовірну подію часто ототожнюють з простором елементарних подій. Означення. Подія, яка в умовах стохастичного експерименту відбутися не може, називається неможливою подією і позначається . Означення. Об’єднанням (сумою) подій та називається подія (), яка містить усі елементарні події, які входять або в подію , або в подію . Означення. Перетином (добутком) подій та називається подія (), яка містить усі елементарні події, які входять і в подію , і в подію . Означення. Різницею подій та називається подія , яка містить усі елементарні події, які входять в подію і не входять в подію . Означення. Подія, яка складається з усіх елементарних подій, які не входять у подію , називається протилежною до події і позначається . Означення. Якщо довільна елементарна подія, яка входить в подію , належить події то говорять, що подія міститься в події і позначають Означення. Якщо і , то говорять, що події і є рівними і записують це так . Означення. Події і називаються несумісними, якщо вони не містять однакових елементарних подій. Означення. Події, які мають однакові шанси відбутись, називають рівноможливими. Властивості дій над подіями: Комутативність: , . Асоціативність: , . Дистрибутивність: , . Правила де Моргана: , . , . , . , . , . . КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ Розглядаємо випадкове явище із скінченною кількістю елементарних подій, які є рівноможливими. Відомо, що подія спостерігається у ньому. Кількість усіх елементарних подій будемо позначати через , а кількість елементарних подій, що сприяють події – через . Означення. Ймовірністю події називають невід’ємне число , яке дорівнює відношенню кількості елементарних подій, що сприяють події , до кількості усіх елементарних подій, тобто . Властивості ймовірностей. Безпосередньо із означення випливають такі властивості: 1. Доведення.
Властивість доведена. 2. Доведення. Очевидно, що кількість елементарних подій, що сприяють події є не більшою, ніж кількість усіх елементарних подій, тобто . Тому . Властивість доведена. 3. . Доведення. Якщо подія неможлива, то кількість елементарних подій, що їй сприяють дорівнює 0. Тому . Властивість доведена. 4. Якщо події та несумісні, то Доведення. Якщо події та несумісні, то . Тому . Властивість доведена. 5. Якщо то Доведення. Якщо то . Отже, . Властивість доведена. 6. Якщо то Доведення. Якщо то . Очевидно, що події та несумісні, тому . Звідси маємо . Властивість доведена. 7. Якщо події та довільні, то
Доведення. Якщо події та довільні, то об’єднання подій та можна подати у вигляді: . Очевидно, що та не перетинаються і та не перетинаються. З другого боку, , . Тому, , . Отже,
= . Властивість доведена. 8. . Доведення. Очевидно, простір елементарних подій може бути представленим у вигляді об’єднання двох подій, які не перетинаються . Тому , що еквівалентно , або . Властивість доведена. Приклад. Двічі підкидають гральний кубик. Знайти ймовірності таких подій: – “2” випала рівно два рази; – “2” випала рівно один раз; – жодного разу не випала “2”; – хоча б один раз випала “2”; – сума очок, яка випала є не більшою ніж 5; – обидва рази випала однакова кількість очок; – обидва рази випала різна кількість очок; – перший раз випала більша кількість очок, ніж другий раз. Розв’язування. Простором елементарних подій є набір упорядкованих пар , де – кількість очок, яка випала перший раз, кількість очок, яка випала другий раз. За правилом добутку в комбінаториці кількість елементарних подій дорівнює . : Події сприяють ті елементарні події, у яких ; . Лише у одної елементарної події є дві двійки Тому І, відповідно,
: Події сприяють ті елементарні події, у яких рівно одна двійка: або на першому або на другому місці. Тобто маємо елементарні події вигляду або де Тому за правилами додавання і добутку в комбінаториці , Події сприяють ті елементарні події, у яких немає двійок. Тобто Їх кількість за правилом добутку в комбінаториці дорівнює Відповідно,
Подія є протилежною до події . Тому . Даний результат можна отримати ще двома способами. По-перше, причому події і є не