§ 7. Системи випадкових величин.
Приклад 1. Задана щільність розподілу системи
.
Знайти значення а , 2) визначити функцію розподілу , 3) знайти ймовірність
попадання випадкової точки в прямокутник з вершинами .
Розв’язання. 1) Для визначення а використаємо властивість щільності розподілу:

,
звідки .
2) За формулою (10)
.
3) За формулою (9)
.
Приклад 2. задана =. Вияснити, залежні чи незалежні в. в.
Розв’язання. =.
= ; =. Отже, випадкові величини незалежні.
Приклад 3. Задано закон розподілу системи
X\Y
0,2
0,3
0,5

2
0,15
0,12
0,10

3
0,08
0,10
0,12

4
0,07
0,18
0,08

Знайти а) закони розподілу складових ; б) умовний закон розподілу ;
в) умовний закон розподілу ; г) вияснити, чи залежні величини .
X
2
3
4

P
0,37
0,30
0,33

Y
0,2
0,3
0,5

P
0,30
0,40
0,30

Розв’язання. а)

б) Знайдемо умовні ймовірності можливих значень за умови, що прийме значення .
===; ===; ===.
X
2
3
4






Контроль: ++=1.
в) Аналогічно знайдемо умовний закон розподілу :===;
===; ===.
Y
0,2
0,3
0,5







Контроль: ++=1.
г) Якщо умова виконується хоча б для однієї пари значень , то залежні між собою. Дійсно, вже для , ця умова виконується: . Отже, 0,37. Таким чином, випадкові величини залежні.
§ 8. Числові характеристики системи випадкових величин.
Приклад 1. За умов прикладу 3 §7 побудувати кореляційну матрицю системи.
Розв’язання. ;
.

.
.
;
.
Отже, ; .
.
Приклад 2. .
Побудувати кореляційну матрицю системи.
Розв’язання. .
.
Отже, і .
Знайдемо .
Отже, .
.
§9.Числові характеристики функції випадкових величин
Приклад 1. Задано закон розподілу випадкового аргументу
X
-2
-1
0
1
2

P
0,15
0,15
0,4
0,12
0,18

Знайти математичне сподівання і дисперсію функції , не знаходячи її закону розподілу.
Розв’язання. Можливі значення функції , , , , .

4
1
0
1
4

P
0,15
0,15
0,4
0,12
0,18


Отже,



4,95-.
Приклад 2. Задана щільність розподілу аргументу .
Знайти математичне сподівання і дисперсію функції , не знаходячи її закону розподілу .
Розв’язання. . Отже,
=.
==. =
Приклад 1. Напруга , яка подається на вхід обмежувача, розподілена за нормальним законом з параметрами і . Обмежувач працює за принципом =. Знайти математичне сподівання і дисперсію напруги на виході обмежувача.
Ввести змінну
Приклад 2. В обчислювальний центр за зміну надходить випадкове число інформаційних документів, яке розподілене за законом Пуассона з параметром . Число інформаційних
документів, що обробляються в ОЦ за зміну, не може перевищувати (ціле число): =. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини .
Приклад5. Проводиться аналіз роботи обчислювальної системи, яка складається з двох блоків, що працюють незалежно один від другого.Час безвідмовної роботи і блоків – незалежні випадкові величини, розподілені за показниковими закономи з параметрами і відповідно. Для роботи обчислювальної системи необхідна робота кожного блока. Знайти характеристики часу безвідмовної роботи обчислювальної системи.
= =; =; =
Приклад6. З метою збільшення часу безвідмовної роботи обчислювальної системи її компонують з двох незалежно працюючих ЕОМ, час безвідмовної роботи яких і . Випадкові величини і . розподілені за показниковими закономи з параметрами і відповідно. Обчислювальна система функціонує, якщо працює принаймні одна з ЕОМ. Знайти числові характеристики випадкової величини .
=
=; =-; =-
§10. Закон розподілу функції випадкових величин
X
1
2
3

P
0,25
0,40
0,35

Приклад 1.

Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. , ,
Y
1
4
9

P
0,25
0,40
0,35

X
-2
-1
0
1
2

P
0,15
0,15
0,4
0,12
0,18

Приклад 2
Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. Можливі значення функції , , , , .
Y
0
1
2

P
0,4
0,27
0,33

Приклад 3. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами ,

Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. Функція монотонна на . Обернена до неї функція .
Знаходимо похідну.
.
Приклад 4. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами , .

Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. Обернена функція неоднозначна:
для і для